Главная > Алгебра > Соотношение безу онлайн. Применение теоремы. Примеры решения задач

Соотношение безу онлайн. Применение теоремы. Примеры решения задач

Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена.

Определение. Выражение вида

где x – некоторая переменная, действительные числа, причем , называется многочленом степени n от переменной x . Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен необходимо рассматривать отдельно. В этом случае принято считать, что его степень не определена.

Примеры. многочлен второй степени,

многочлен пятой степени.

Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты.

Определение . Число называется корнем многочлена , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. Другими словами, будет являться корнем уравнения

Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача.

Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики.

Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени.

В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения.

Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней.

Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены , причем степень отлична от 0, и степень больше степени . Тогда существуют многочлены , такие, что выполняется равенство

Причем, степень меньше степени Многочлен называется делимым , многочлен делителем, многочлен неполным частным , а многочлен остатком .

Если остаток от деления равен 0, то говорят, что делится на нацело , при этом равенство принимает вид:

Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма.

Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0).

Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной.

Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя.

Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом.

Из делимого вычесть полученное произведение.

К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1).

Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток.

Пример . Разделить многочлен на .

Записываем делимое и делитель

Повторяем процедуру

Степень меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так:

Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена на двучлен .

Пример . Разделить по схеме Горнера многочлен на . В этом случае а =2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма.

Шаг первый.

Шаг второй

Шаг третий

Шаг четвертый

Таким образом, результат деления запишем так

Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен

То его преобразовывают к виду тогда . Отсюда видно, что, разделив по схеме Горнера на мы найдем Тогда искомое частное получится делением найденного на а . Остаток остается таким же.

Теорема Безу . Остаток от деления многочлена на равен значению многочлена в точке x = а , т.е. . Многочлен делится на без остатка тогда и только тогда, когда x = а является корнем многочлена .

Таким образом, найдя один корень многочлена а , можно его разложить на множители , выделив множитель , имеющий степень на единицу меньше степени . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком».

Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена.

Теорема. Пусть многочлен имеет целые коэффициенты. Если несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента .

Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть).

Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей

Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью .

Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в общем виде можно записать так: , где в числителе стоит многочлен степени n , в знаменателе – многочлен степени k . Если , то дробь называется правильной .

К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов:

Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей.

Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей.

Разложить знаменатель на множители.

Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей.

Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

Привести дроби в правой части к общему знаменателю.

Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты.

1. Разделить 5x 4 + 5 x 3 + x 2 − 11 на x − 1 , используя схему Горнера.

Решение:

Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11, расположенные по убыванию степеней переменной x . Заметьте, что данный многочлен не содержит x в первой степени, т.е. коэффициент перед x в первой степени равен 0. Так как мы делим на x −1, то во второй строке запишем единицу:

Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 5 , просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅ 5 + 5 = 10 :

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅ 10 + 1 = 11 :

Для пятой ячейки получим: 1⋅ 11 + 0 = 11 :

И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: 1⋅ 11 + (−11)= 0 :

Задача решена, осталось только записать ответ:

Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x −1. Естественно, что так как степень исходного многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 равнялась четырём, то степень полученного многочлена 5x 3 +10x 2 +11x +11 на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остаток от деления многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 на x −1.
В нашем случае остаток равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x =1 равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11 при x =1 равно нулю, то единица является корнем многочлена 5x 4 +5x 3 +x 2 −11.

2. Найдите неполное частное, остаток от деления многочлена

А (х ) = х 3 – 2х 2 + 2х – 1 на двучлен х – 1.

Решение:

		– 2		– 1
α = 1		– 1

Ответ: Q (x ) = х 2 – х + 1 , R (x ) = 0.

3. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = – 1, если А (х ) = х 3 – 2 х – 1.

Решение:

			– 2	– 1
α = – 1		– 1	– 1

Ответ:А (– 1) = 0.

4. Вычислите значение многочлена А (х ) при х = 3, неполное частное и остаток, где

А (х )= 4 х 5 – 7х 4 + 5х 3 – 2 х + 1.

Решение:

		– 7			– 2
α = 3					178	535

Ответ: R (x ) = A (3) = 535, Q (x ) = 4 х 4 + 5х 3 + 20х 2 + 60х +178.

5. Найдите корни уравнения х 3 + 4 х 2 + х – 6 = 0.

Решение:

Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6

Здесь, а = 1 (х – 1 = х – а), а коэффициенты многочлена-делимого равны соответственно
1, 4, 1, – 6. Строим таблицу для применения схемы Горнера:

научная работа

Применение теоремы

Остановлюсь на рассмотрении некоторых примеров применения теоремы Безу к решению практических задач.

Следует отметить, что при решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо:

· найти все целые делители свободного члена;

· из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (a);

· левую часть уравнения разделить на (x-a);

· записать в левой части уравнения произведение делителя и частного;

· решить полученное уравнение.

Найти остаток от деления многочлена x 3 -3x 2 +6x-5

на двучлен x-2.

По теореме Безу:

R=f(2)=2 3 -3*2 2 +6*2-5=3.

Ответ: R=3.

При каком значении a многочлен x 4 +ax 3 +3x 2 -4x-4 делится без остатка на двучлен x-2?

По теореме Безу: R=f(2)=16+8a+12-8- 4=8a+16.

Но по условию R=0, значит 8a+16=0, отсюда a=-2.

Ответ: a=-2.

При каких значениях a и b многочлен ax 3 +bx 2 -73x+102 делится на трёхчлен x 2 -5x+6 без остатка?

Разложим делитель на множители: x 2 -5x+6=(x-2)(x-3).

Поскольку двучлены x-2 и x-3 взаимно просты, то данный многочлен делится на x-2 и на x-3, а это значит, что по теореме Безу:

R 1 =f(2)=8a+4b-146+102=8a+4b-44=0

R 2 =f(3)=27a+9b-219+102=27a+9b-117=0

Решу систему уравнений:

8a+4b-44=0 2a+b=11

27a+9b-117=0 3a+b=13

Отсюда получаем: a=2, b=7.

Ответ: a=2, b=7.

При каких значениях a и b многочлен x 4 +ax 3 -9x 2 +11x+b

делится без остатка на трёхчлен x 2 -2x+1?

Представим делитель так: x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2

Данный многочлен делится на x-1 без остатка, если по теореме Безу:

R 1 =f(1)=1+a-9+11+b=a+b+3=0.

Найдём частное от деления этого многочлена на x-1:

X 4 +ax 3 -9x 2 +11x-a-3 x-1

x 4 -x 3 x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3)

(a+1)x 3 -(a + 1)x 2

(a-8)x 2 -(a-8)x

Частное x 3 +(a+1)x 2 +(a-8)x+(a+3) делится на (x-1) без остатка, откуда

R 2 =f(1)=1+(a+1)*1+(a-8)*1+a+3=3a-3=0.

Решу систему уравнений:

a + b + 3 = 0 a + b =-3

3a - 3 = 0 a = 1

Из системы: a=1, b=-4

Ответ: a=1, b=-4.

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +4x 2 -5.

Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного многочлена f(x), а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу f(x) делится на (x-1) без остатка:

f(x)/(x-1)=x 3 +x 2 +5x+5, значит f(x)=(x-1)(x 3 +x 2 +5x+5).

Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5 x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка:

X 4 +4x 2 -5 x-1 _x 3 +x 2 +5x+5 x+1

x 4 -x 3 x 3 +x 2 +5x+5 x 3 +x 2 x 2 +5

X 3 +4x 2 _5x+5

(x 3 +x 2 +5x+5)/(x+1)=x 2 +5, значит x 3 +x 2 +5x+5=(x+1)(x 2 +5).

Отсюда f(x)=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

По следствию 7 (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому f(x) далее на множители не раскладывается.

Ответ: x 4 +4x 2 -5=(x-1)(x+1)(x 2 +5).

Разложить на множители многочлен f(x)=x 4 +324.

f(x) корней не имеет, т.к. x 4 не может быть равен -324, значит, по следствию 7 f(x) на множители не раскладывается.

Ответ: многочлен на множители не раскладывается.

Составить кубический многочлен, имеющий корень 4 кратности 2 и корень -2.

По следствию 3, если многочлен f(x) имеет корень 4 кратности 2 и корень -2, то он делится без остатка на (x-4) 2 (x+2), значит:

f(x)/(x-4) 2 (x+2)=q(x), т.е.

f(x)=(x-4) 2 (x+2)q(x),

f(x)=(x 2 -8x+16)(x+2)q(x),

f(x)=(x 3 -8x 2 +16x+2x 2 -16x+32)q(x),

f(x)=(x 3 -6x 2 +32)q(x).

(x 3 -6x 2 +32) - кубический многочлен, но по условию f(x) - также кубический многочлен, следовательно, Q(x) - некоторое действительное число. Пусть Q(x)=1, тогда f(x)=x 3 -6x 2 +32.

Ответ: x 3 -6x 2 +32.

Решить уравнение x 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30=0.

301; 2, 3, 5, 6, 10.

(x-2)(x 3 +5x 2 -3x-15)=0

(x-2)(x+5)(x 2 -3)=0

X 4 +3x 3 -13x 2 -9x+30 x-2

x 4 -2x 3 x 3 +5x 2 -3x-15

Ответ: x 1 =2, x 2 =-5, x 3,4 =.

Решить уравнение x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=0.

Посмотрев на уравнение, сразу можно сказать, что по следствию 4 оно имеет не более 6 корней уравнения.

12 1; 2; 3; 4; 6; 12.

X 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12 x-1

x 6 -x 5 x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12

10x 3 +16x 2 _x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12 x+2

10x 3 -10x 2 x 5 +2x 4 x 4 -5x 2 +6

6x 2 +6x _ -5x 3 -10x 2

6x 2 -6x -5x 3 -10x 2

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x 5 +2x 4 -5x 3 -10x 2 +6x+12)=0

x 6 +x 5 -7x 4 -5x 3 +16x 2 +6x-12=(x-1)(x+2)(x 4 -5x 2 +6)=0

x 4 -5x 2 +6=0 - биквадратное уравнение, x 1,2 =, x 3,4 =.

Ответ: x 1,2 =, x 3,4 =, x 5 =1, x 6 =-2.

Решить уравнение x 3 -5x 2 +8x-6=0.

X 3 -5x 2 +8x-6 x-3

x 3 -3x 2 x 2 -2x+2

x 3 -5x 2 +8x-6=(x 2 -2x+2)(x-3)=0

x 2 -2x+2=0 - квадратное уравнение, корней не имеет, т.к. D<0.

Ответ: x=3.

Решить уравнение 6x 3 +11x 2 -3x-2=0.

6x 3 +11x 2 -3x-2 x+2

6x 3 +12x 2 6x 2 -x-1

6x 3 +11x 2 -3x-2=(6x 2 -x-1)(x+2)=0

6x 2 -x-1=0 - квадратное уравнение, x 1 =Ѕ, x 2 =-?.

Ответ: x 1 =Ѕ, x 2 =-?, x 3 =-2.

Биография и труды Колмогорова А.Н.

Колмогоровы теоремы: 1. Теорема о нормированных пространствах (1934); 2. Теорема о применимости больших чисел закона (1928); 3. Теорема о применимости больших чисел усиленного закона (1930, 1933). 2.8...

Бипримарные группы

Допустим, что теорема неверна и группа --- контрпример минимального порядка. Пусть --- циклическая силовская -подгруппа в, а, где --- силовская 2-подгруппа в, --- ее инвариантное дополнение в. В силу леммы условие теоремы выполняется для...

Изучение теоремы Безу для решения уравнений n-й степени при n>2

Клеточные пространства

Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X. Доказательство. Обозначим через проектирование X Х/А. Так как А стягиваемо, то существует гомотопия ft: АА, такая...

Максимальные факторизации симплектических групп

Теорема Для любого четного числа и любого поля группа проста за исключением группы, которая простой не является. Доказательство. 1) Исключительное поведение группы следует из. Будем предполагать поэтому, что в общем случае и при...

Научные достижения Пифагора

Задача №1 Решение: Д АВС - прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2,АВ2 = 82 + 62,АВ2 = 64 + 36,АВ2 = 100,АВ = 10. Ответ: АВ = 10 Задача №2 Решение: Д DCE - прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2,DC2 = DE2 - CE2,DC2 = 52 - 32...

Применение производной при решении некоторых задач

Пример 1. Доказать теорему: если уравнение (1) имеет положительный корень, то уравнение (2) также имеет положительный корень и притом меньший...

Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по ...

Спектр графа

Ряд фундаментальных свойств спектров графов (или, в более общем случае, мультиорграфов) можно установить на основе некоторых теорем теории матриц. В этом параграфе представлены лишь наиболее важные матричные теоремы...

Теорема Силова

Пусть G - группа и P - другая группа. Пусть каждому элементу aG сопоставлен некоторый элемент из S, то есть, дано отображение G и S. Отображение ц называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S...

Теория эллиптических интегралов и эллиптических функций

Теорема 1. Производная эллиптической функции есть также функция эллиптическая. В самом деле, дифференцируя соотношение (1), имеющее место при любом z, получаем Таким образом, производная f(z) имеет те же периоды 2 и 2, что и первоначальная функция...

Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей: Теорема Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений...

Функциональные представления ограниченных дистрибутивных решеток

Лемма1. Конгруэнции образуют открытое семейство. Доказательство. Необходимо показать, что для любых элементов множество открыто в. Пусть, тогда и для некоторого. Если - произвольный простой идеал из, то, и поэтому...

Цилиндрические функции

С помощью теоремы Коши об интегралах от функций комплексного переменного можно получить из интеграла Пуассона еще одно интегральное представление, весьма важное для теории функций Бесселя...

Экстремальная задача на индексационных классах

В случае утверждение теоремы очевидно. Пусть. Лемма 3. Для любого ФР и любой точки существует ФР такая, что v(t)(t) (v(t)(t)) в некоторой окрестности точки. Доказательство. Если не существует такого i, 0in+2, что n-1 четно и Yi(0)...

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

Число $a$ - корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .

Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть $a$ - целый корень приведенного многочлена $P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного многочлена. Иногда этим приемом - он называется понижением степени - можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке $a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 \cdot 1^{2}-4 \cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен $f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число $x=1$ - корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ .

Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на

Пусть _ корень многочлена, т.е. Разделим на, где степень меньше степени, которая равна Значит, степень равна, т.е. . Значит, . Так как, то из последнего равенства следует, что т.е. .

Обратно, пусть делит, т.е. . Тогда.

Следствие. Остаток от деления многочлена на равен.

Многочлены первой степени называются линейными многочленами. Теорема Безу показывает, что разыскание корней многочлена равносильно разысканию его линейных делителей со старшим коэффициентом 1.

Многочлен можно разделить на линейный многочлен с помощью алгоритма деления с остатком, но существует более удобный способ деления, известный под названием схемы Горнера.

Пусть и пусть, где. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях неизвестной с левой и правой частях последнего равенства, имеем:

Число называется корнем кратности многочлена, если делит, но уже не делит.

Чтобы поверить, будет ли число корнем многочлена и какой кратности, можно воспользоваться схемой Горнера. Сначала делится на затем, если остаток равен нулю, полученное частное делится на и т.д. до получения не нулевого остатка.

Число различных корней многочлена не превосходит его степени.

Большое значение имеет следующая основная теорема.

Основная теорема . Всякий многочлен с числовыми коэффициентами ненулевой степени имеет хотя бы один корень (может быть комплексный).

Следствие. Всякий многочлен степени имеет в C (множестве комплексный чисел) столько корней, какова его степень, считая каждый корень столько раз, какова его кратность.

где _ корни, т.е. во множестве C всякий многочлен разлагается в произведение линейных множителей. Если одинаковые множители собрать вместе, то:

где уже различные корни, _ кратность корня.

Если многочлен, с действительными коэффициентами имеет корень, то число также корень

Значит, у многочлена с действительными коэффициентами комплексные корни входят парами.

Следствие. Многочлен с действительными коэффициентами нечетной степени имеет нечетное число действительных корней.

Пусть и корни Тогда делится на и но так как у и нет общих делителей, то делится на прозведение.

Утверждение 2. Многочлен с действительными коэффициентами степени всегда разлагается на множестве действительных чисел в произведение линейных многочленов, отвечающих его вещественным корням, и многочленов 2-ой степени, отвечающих паре сопряженных комплексных корней.

При вычислении интегралов от рациональных функций нам понадобится представление рациональной дроби в виде суммы простейших.

Рациональной дробью называется дробь где и _ многочлены с действительными коэффициентами, причем многочлен. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если рациональная дробь не является правильной, то, произведя деление числителя на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить в виде, где и - некоторые многочлены, а - правильная рациональная дробь.

Лемма 1. Если - правильная рациональная дробь, а число является вещественным корнем кратности многочлена, т.е. и, то существует вещественное число и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

При этом несложно показать, что полученное выражение является рациональной дробью с вещественными коэффициентами.

Лемма 2. Если - правильная рациональная дробь, а число (и - вещественные,) является корнем кратности многочлена, т.е. и, и если, то существуют вещественные числа и и многочлен с вещественными коэффициентами, такие, что где дробь также является правильной.

Рациональные дроби вида, _ трехчлен с действительными коэффициентами, не имеющий действительных корней, называются простейшими (или элементарными) дробями.

Всякая правильная рациональная дробь представима единственным образом в виде суммы простейших дробей.

При практическом получении такого разложения оказывается удобным так называемый метод неопределенных коэффициентов. Он состоит в следующем:

· Для данной дроби пишется разложение, в котором коэффициенты считаются неизвестными;
· После этого обе части равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты.

При этом если степень многочлена равна, то в числителе после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени, т.е. многочлен с коэффициентами.