Лабораторная работа15. Определение момента инерции маятника максвелла. Определение момента инерции маятника Формула относительной погрешности для момента инерции маятника

6.11. Физический маятник

Твердое тело произвольной формы, свободно совершающее колебания вокругнеподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс, называют физическим маятником .

Согласно определению, физический маятник при колебаниях имеет одну степень свободы, т.е. действительно является одномерным гармоническим классическим осциллятором (рис. 6.14, где точка 0 называется осью качаний, а точка 0 * - центром качания физического маятника, точка C - центр масс).

Рис. 6.14

При гармонических колебаниях угол отклонения от положения равновесия q мал и составляет не более трех-пяти градусов, что позволяет в некоторых случаях полагатьsin q » q (если угол q брать в радианах, а не в градусах), а сами колебания считать гармоническими и изохронными, т.е. их период или частота не зависят от амплитуды колебания.

Сначала напишем дифференциальное уравнение колебаний физического маятника. Для этого рассмотрим, какие на него действуют силы. Силу трения в точке подвеса 0 (ось Z ) физического маятника не учитываем. На физический маятник при колебаниях действуют сила тяжестиG и нормальная реакция опоры F (рис. 6.14). Для нахождения результирующей силы разложим силу тяжести на две взаимно перпендикулярные силы: G ^ = mg· sin q и G || = mg· cos q (рис. 6.14). Тогда силы нормальной реакции опоры и параллельная составляющая силы тяжести взаимно компенсируют другдруга (третий закон Ньютона). Поэтому силой, заставляющей физический маятник продолжать совершать гармонические колебания, остается перпендикулярная составляющая силы тяжести, которую часто называют возвращающей силой.

Такой же результат можно получить, если сложить вектор силы тяжести и вектор силы нормальной реакции опоры по правилу параллелограмма. (Представляем читателю выполнить эту операцию самостоятельно).

Из динамики вращательного движения (5.17 ) следует , что в этом случае на физический маятник (как любое твердое тело) действует момент силы М относительно оси Z, равный произведению момента инерции тела I на угловое ускорение e относительно этой же оси:

M = I ×e ,

(6.33)

где

.

(6.34)

Момент силы М равен произведению составляющей силы тяжести G ^ на плечо ℓ :

где sin q » q ,что отмечалось выше. Подставим значения выражений (6.34) и (6.35) в формулу (6.33):

Таким образом, получили однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеризующее колебания физического маятника.

Его решением является функция q = q 0 сos (w t + j o ), где q 0 - амплитудное значение угла q отклонения маятника от положения равновесия при его колебаниях.

Пока сила тяжести Р , приложенная в центре масс С , направлена вдоль оси стержня (рис. 5.1, а ), система находится в равновесии. Если отклонить стержень на некоторый малый угол (рис. 5.1, б ), то центр масс С поднимается на небольшую высоту и тело приобретает запас потенциальной энергии. На маятник относительно оси О , направление которой выбираем «к нам», будет при этом действовать момент силы тяжести, проекция которого на эту ось равна

где ; L – расстояние между осью вращения О и центром масс С .

Вращающий момент М , создаваемый силой Р , при малых углах равен

Он вызывает ускорение при вращательном движении маятника. Связь между этим ускорением и моментом сил дается основным уравнением динамики вращательного движения

, (5.2)

где J – момент инерции маятника относительно оси О .

Обозначим

Тогда из уравнения (5.2) получим

Уравнение (5.4) описывает колебательный процесс с циклической частотой .

Период колебаний, следовательно, равен

Из формулы (5.5) выразим момент инерции

Если положение центра масс системы не изменяется, то величина L постоянна и в формулу (5.6) можно ввести постоянный коэффициент

. (5.7)

Измеряя время t , в течение которого происходит n полных колебаний, найдем период . Подставляя T и K в (5.6), получаем рабочую формулу

С помощью формулы (5.8) производятся косвенные измерения момента инерции физического маятника относительно оси О .

С другой стороны, момент инерции J зависит от положения грузов на стержне. Переместим грузы по стержню так, чтобы они располагались симметрично относительно некоторой точки А . Эта математическая точка выбрана произвольно вблизи середины стержня. Центр масс системы при этом сохраняет свое местоположение. Будем считать размеры грузов малыми по сравнению с и (см. рис. 5.1). Тогда их можно рассматривать как материальные точки. В этом случае момент инерции системы определяется выражением

где – момент инерции системы без грузов; x – расстояние груза до точки А ; l – расстояние точки А до оси вращения маятника О .

Преобразуя формулу (5.9), получаем

где – момент инерции маятника при положении грузов в точке А .

Зависимость (5.10) будем проверять, получая величины J и J A экспериментально с помощью формулы (5.8).

Задание к работе

1. При подготовке к лабораторной работе получите расчетную формулу для погрешности косвенных измерений D J момента инерции (см. Введение). Учтите, что момент инерции определяется с помощью рабочей формулы (5.8). Для упрощения вычислений можно считать, что коэффициент K в этой формуле измерен точно: D K = 0.

2. Подготовьте эскиз табл. 1 для статистической обработки прямых пятикратных измерений времени t (образец см. Введение табл. В.1).

3. Подготовьте эскиз табл. 2 для исследования зависимости J от x 2 .

4. Включите электронный секундомер. Нажатием кнопки «Режим» установите режим №3 (светится индикатор «Реж.3»), при этом отключится тормозное устройство, удерживающее тело.

5. Приступая к работе, поместите оба груза в точке А (ее положение указано в таблице исходных данных, помещенной в Приложении и около лабораторной установки, на которой Вам предстоит работать).

6. Отклоните маятник рукой на небольшой угол , и в момент отпускания маятника включите секундомер нажатием кнопки «Пуск». Отсчитав 10 полных колебаний маятника, остановите секундомер нажатием кнопки «Стоп». Запишите полученное время в таблицу измерений.

7. Проведите пятикратные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника, не меняя положение грузов.

8. Рассчитайте среднее время и определите доверительную погрешность измерения D t .

9. Используя рабочую формулу (5.8), определите значение момента инерции J A , а по формуле, полученной в п. 1 этого задания, определите погрешность измерения этой величины D J . Результат запишите в виде и занесите в табл. 2 для значения .

10. Раздвиньте грузы симметрично относительно точки А на расстояние (см. рис. 5.1). Рекомендуется расстояние взять равным тому значению, которое использовалось в индивидуальном задании. Проведите однократные измерения времени t десяти полных колебаний физического маятника.

11. Повторите опыт п. 7 при пяти различных расстояниях x .

12. Определите момент инерции маятника с помощью формулы (5.8) при различных расстояниях x . Результаты занесите в табл. 2.

13. Постройте график зависимости момента инерции маятника
от x 2 , пользуясь табл. 2. Нанесите на этот же график ожидаемую за-
висимость (5.10). Проведите сравнение и анализ полученных резуль-
татов.

Контрольные вопросы

1. В чем состоит цель данной работы?

2. Что такое момент инерции тела? В чем его физический смысл?

3. Сформулируйте и примените к данной работе основной закон динамики вращательного движения.

4. Что такое центр масс системы?

5. Почему местоположение центра масс маятника не меняется при изменении положения грузов ?

6. Найдите момент инерции системы относительно центра масс, задав или измерив нужные для этого величины.

7. Сформулируйте закон сохранения энергии и запишите его применительно к физическому маятнику.

8. Как получить рабочую формулу (5.8) и зависимость (5.10)?

9. Как получить формулу для расчета погрешности косвенных измерений момента инерции?

10. Как формулируется теорема Штейнера? Как можно применить ее к исследуемой системе?

11. Почему предлагается построить график зависимости момента инерции от квадрата величины x ?

12. Что такое момент силы , угловая скорость , угловое ускорение , угловое перемещение , как направлены эти векторы?

Индивидуальные задания для членов бригады,

выполняющих лабораторную работу на одной установке

Номер члена бригады	Индивидуальное задание
	Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице вплотную в точке А
	Рассчитайте момент инерции маятника, состоящего из барабана и спицы с грузами, закрепленными на спице на расстоянии от точки А . Численные значения масс, размеров барабана и спицы возьмите в таблице исходных данных, помещенной в Приложении или около лабораторной установки, на которой Вам предстоит выполнять опыты
	Выполните задание, аналогичное заданию для второго номера, но с другим значением расстояния от точки А

Литература

Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982. – Т. 1 (и последующие издания этого курса).

Лабораторная работа № 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ

МЕТОДОМ КЛЕМАНА И ДЕЗОРМА

Цель работы – изучение равновесных термодинамических процессов и теплоемкости идеальных газов, измерение показателя адиабаты классическим методом Клемана и Дезорма.

Московский государственный университет

путей сообщения РФ (МИИТ)

Кафедра «Физика-2»

Группа____________________________ К работе допущен____________________

(Дата, подпись преподавателя)

Студент ___________________________ Работа выполнена___________________

(ФИО студента) (Дата, подпись преподавателя)

Преподаватель_____ _________________ Отчёт принят_______________________ (Дата, подпись преподавателя)

ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №_______5 ____

ИЗУЧЕНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

1. Цель работы :

Определение момента инерции физического маятника по периоду его малых колебании и приведенной длине.

2. Настенный кронштейн, с подушками для опорных призм физического маятника .

1 – призма 1

2 – призма 2

3 – груз, закрепленный на шкале

4 – подвижный груз.

М – кронштейн

А – физ. маятник

С, D – грузы

B1, B2 – призмы

d1, d2 – расстояние до центра масс

3. Основные теоретические положения к данной работе (основополагающие утверждения: формулы, схематические рисунки):

Физическим маятником называется любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр инерции тела. Всегда можно подобрать математический маятник, синхронный данному физическому, т. е. такой математический маятник, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника. Длина такого математического маятника называется приведенной длиной физического маятника.

Выведем формулу периода колебаний физического маятника. На рис. 4 точка О - обозначает горизонтальную ось вращения, точка В - центр тяжести физического маятника. Следует отметить, что в однородном поле сил тяжести центр инерции тела и его центр тяжести совпадают.

Относительно оси вращения сила тяжести создает вращающий момент, стремящийся возвратить маятник в положение равновесия. Численное значение этого момента определяется соотношением

(1)

где m - масса физического маятника, d - кратчайшее расстояние от оси вращения до центра тяжести маятника, -угловое перемещение тела, отсчитываемое от положения равновесия. При малых угловое перемещение можно рассматривать как вектор, лежащий на оси вращения, направление которого связано с направлением поворота тела из положения равновесия в заданное правилом правого винта.

Учитывая, что векторы и антипараллельны, следует величинам проекций вращающего момента и углового перемещения на ось вращения приписать противоположные знаки. Тогда формула (1) примет вид

. (1а)

При малых углах можно принять , если выражено в радианах, и записать формулу (1а) следующим образом

. (2)

Используем основной закон динамики вращательного движения тела относительно неподвижной оси, записав его в проекциях на ось вращения:

(3)

где J - момент инерции тела относительно оси вращения, а-угловое ускорение, причем .

Подставляя в формулу (3) момент силы из формулы (2), получим уравнение движения маятника

. (4)

Решение полученного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами можно записать в виде

где , а и -постоянные, определяемые начальными условиями.

Величины и называют соответственно амплитудой и фазой колебания, а a 0 -начальной фазой. Уравнение (5) является уравнением гармонического колебательного движения, а величина w 0 собственной циклической частотой колебания. По истечении времени фаза получает приращение, а тело возвращается в исходное положение с сохранением направления движения. Величина

T 0 называется собственным периодом колебания. Таким образом, период колебания физического маятника определяется формулой

(6)

Известно, что период колебаний математического маятника записывается в виде

.

Сравнивая эту формулу с формулой (6), делаем вывод, что математический маятник будет иметь тот же период колебаний, что и данный физический, если длина математического маятника

. (7)

Это и есть формула приведенной длины физического маятника.

Прибор, используемый в данной работе, представляет собой настенный кронштейн, на котором смонтированы подушки для опорных призм физического маятника. На том же кронштейне подвешен математический маятник, длину которого можно изменять, наматывая нить на соответствующий барабанчик. Физический маятник представляет собой цилиндрический стержень (рис. 5), на котором жестко закреплены две призмы 1 и 2. На стержне находятся также два тяжелых груза 3 и 4 в форме чечевиц, один из которых (3) закреплен, а другой может перемещаться по шкале и закрепляться в нужном положении. Расстояние между опорными призмами равно 0,730 м. Масса маятника m = 10,55 кг (Δm =0,01 кг).

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла со сменными кольцами, секундомер, масштабная линейка, штангенциркуль.

Цель работы: изучение закона сохранения энергии и определение момента инерции маятника.

Маятник Максвелла представляет собой диск 6, закреплённый на стержне 7, подвешенном на бифилярном подвесе 5 к кронштейну 2. На диск крепятся сменные кольца 8. Верхний кронштейн 2, установленный на вертикальной стойке 1, имеет электромагнит и устройство 4 для регулировки бифилярного подвеса. Маятник со сменными кольцами фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита.

На вертикальной стойке 1 нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника. На нижнем кронштейне 3 находится фотоэлектрический датчик 9. Кронштейн обеспечивает возможность перемещения фотодатчика вдоль вертикальной стойки и его фиксирования в любом положении в пределах шкалы 0-420 мм. Фотодатчик предназначен для выдачи электрических сигналов на миллисекундомер 10 в момент пересечения свето­вого луча диском маятника.

1. Вертикальная стойка 2. Верхний кронштейн 3. Нижний кронштейн 4. Устройство для регулировки бифилярного подвеса 5. Бифилярный подвес 6. Диск 7. Стержень 8. Сменные кольца 9. Фотоэлектрический датчик 10. Миллисекундомер

Принцип работы маятника Максвелла основан на том, что маятник массой m, подня­тый на высоту h путём накручивания нитей подвеса на стержень маятника, будет иметь EP = mgh. После отключения электромагнита маятник начинает раскручиваться, и его потенциальная энергия EP будет переходить в кинетическую энер­гию поступательного движения EK = mv2/2 и энергию вращательного движения EВР = Iw2/2 . На основании закона сохранения механической энергии (если пренебречь потерями на трение)

M g h = m v2 / 2 + I w2 / 2 (1)

Где h — ход маятника; v — скорость маятники в момент пересечения оптической оси фо­тодатчика; I — момент инерции маятника; w — угловая скорость маятника в тот же мо­мент времени.

Из уравнения (1) получаем:

I = m v2 w -2 (2g h v -2 — 1)

Учитывая, что v = RСТ w, v2 = 2ah, где RСТ — радиус стержня, a — ускорение, с которым опускается маятник, получаем экспериментальное значение момента инерции маят­ника:

IЭКСП = m R2СТ (0,5 g t2 h -1 — 1) = m R2СТ a -1 (g — a) (2)

Где t — время хода маятника.

Теоретическое значение момента инерции маятника относительно оси маятника оп­ределяется по формуле: (3)

IТ = IСТ + IДИСКА + IКОЛЬЦА = 0,5

Где mCT — масса стержня, mCT = 29 г; mg — масса диска, насаженного на стержень,

Mg = 131 г; mKi — масса сменного кольца; Rg — внешний радиус диска; RK — внешний радиус кольца.

При учёте работы, совершаемой маятником против сил трения, уравнение (1) примет вид:

M g h = m v2 / 2 + I w2 / 2 + А

Где A — работа против сил трения.

Эту работу можно оценить по изменению высоты первого подъёма маятника. Счи­тая, что работа при спуске и подъёме одинакова, получим:

Где Dh — изменение высоты наивысшего положения маятника в первом цикле спуск-подъём. Тогда считая, что DI — оценка величины, на которую завышается экспериментально определённое зна­чение IЭКСП без учёта потери энергии на трение, получим:

DI / IЭКСП = Dh / 2h + 1 / (1 — (a / g)) (4)

Расчеты, сопутствующие вычисления и данные:

RCT = 0,0045 [м] mCT = 0,029 [кг]

RДИСКА = 0,045 [м] mДИСКА = 0,131 [кг]

RКОЛЬЦА = 0,053 [м] mКОЛЬЦА = 0,209 [кг]

№ 1 2 3 4 k = tgj = h / t2CP = 0,268 / 9,6 » 0,028 [м/ c2]

TCP, c 3,09 2,73 2,46 3,39 a = 2k = 2 · 0,028 = 0,056 [м/ c2]

T2CP, c2 9,6 7,5 6,1 11,5

K, м/c2 0,028 0,029 0,027 0,027

IЭКСП = (mCT + mДИСКА + mКОЛЬЦА) R2СТ a -1 (g — a)

IЭКСП = [(0,029 + 0,131 + 0,209) · (0,0045)2 · (9,8 — 0,056)] / 0,056 » 0,0013 [кг · м2]

IТ = 0,5

IТ = 0,5 » 0,0006 [кг · м2]

H = 0,5

H = 0,5 = 0,028 [м]

Физическим маятником называется твердое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

Изобразим сечение маятника плоскостью, перпендикулярной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника С (рис. 324, а).

Введем обозначения: Р - вес маятника, а - расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, - момент инерции маятника относительно оси подвеса. Положение маятника будем определять углом отклонения линии ОС от вертикали.

Для определения закона колебаний маятника воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения (66). В данном случае (знак минус взят потому, что при момент отрицателен, а при - положителен) и уравнение (66) принимает вид

Деля обе части равенства на и вводя обозначение

найдем дифференциальное уравнение колебаний маятника в виде

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая угол малым и полагая приближенно . Тогда предыдущее уравнение примет вид

Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний точки и его общим решением по аналогии с равенством (68) из § 94 будет

Полагая, что в начальный момент маятник отклонен на малый и отпущен без начальной скорости найдем для постоянных интегрирования значения

Тогда закон малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими. Период колебаний физического маятника, если заменить k его значением (67), определяется формулой

Как видим, для малых колебаний период от угла начального отклонения не зависит. Этот результат является приближенным. Если проинтегрировать составленное вначале дифференциальное уравнение колебаний маятника, не считая в нем угол малым (т. е. не полагая ), то можно убедиться, что зависит от Приближенно эта зависимость имеет вид

Отсюда, например, следует, что при рад (около 23°) формула (68) определяет период с точностью до

Полученные результаты охватывают и случай так называемого математического маятника, т. е. груза малых размеров (который будем рассматривать как материальную точку), подвешенного на нерастяжимой нити длиной l, массой которой по сравнению с массой груза можно пренебречь (рис. 324, б). Для математического маятника, так как он представляет собой систему, состоящую из одной материальной точки, очевидно, будет

Подставляя эти величины в равенство (68), найдем, что период малых колебаний математического маятника определяется формулой

Из сравнения формул (68) и (68), видно, что при длине

период колебаний математического маятника совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника.

Длина h такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка К, отстоящая от оси подвеса на расстоянии называется центром качаний физического маятника (см. рис. 324).

Замечая, что по теореме Гюйгенса мы можем привести формулу (69) к виду

Отсюда следует, что расстояние ОК всегда больше, чем т. е. что центр качаний маятника веегда расположен ниже его центра масс.

Из формулы (69) видно, что . Поэтому, если поместить ось подвеса в точке К, то приведенная длина U полученного маятника согласно

Следовательно, точки К и О являются взаимными, т. е. если ось подвеса будет проходить через точку К, то центром качаний будет точка О (так как и период колебаний маятника не изменится. Это свойство используется в так называемом оборотном маятнике, который служит для определения ускорения силы тяжести.