Уравнение прямой, виды уравнения прямой на плоскости. Уравнение линии на плоскости Общие понятия об уравнениях линии и поверхности

Рассмотрим функцию, заданную формулой (уравнением)

Этой функции, а следовательно, и уравнению (11) соответствует на плоскости вполне определенная линия, которая является графиком данной функции (см. рис. 20). Из определения графика функции следует, что эта линия состоит из тех и только тех точек плоскости координаты которых удовлетворяют уравнению (11).

Пусть теперь

Линия, являющаяся графиком этой функции, состоит из тех и только тех точек плоскости координаты которых удовлетворяют уравнению (12). Это значит, что если точка лежит на указанной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12). Если же точка не лежит на этой линии, то ее координаты уравнению (12) не удовлетворяют.

Уравнение (12) разрешено относительно у. Рассмотрим уравнение, содержащее х и у и не разрешенное относительно у, например уравнение

Покажем, что и этому уравнению в плоскости соответствует линия, а именно - окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 2. Перепишем уравнение в виде

Его левая часть представляет собой квадрат расстояния точки от начала координат (см. § 2, п. 2, формула 3). Из равенства (14) следует, что квадрат этого расстояния равен 4.

Это значит, что любая точка , координаты которой удовлетворяют уравнению (14), а значит и уравнению (13), находится от начала координат на расстоянии, равном 2.

Геометрическое место таких точек есть окружность с центром в начале координат и радиусом 2. Эта окружность и будет линией, соответствующей уравнению (13). Координаты любой ее точки, очевидно, удовлетворяют уравнению (13). Если же точка не лежит на найденной нами окружности, то квадрат ее расстояния от начала координат будет либо больше, либо меньше 4, а это значит, что координаты такой точки уравнению (13) не удовлетворяют.

Пусть теперь, в общем случае, дано уравнение

в левой части которого стоит выражение, содержащее х и у.

Определение. Линией, определяемой уравнением (15), называется геометрическое место точек плоскости координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Это значит, что если линия L определяется уравнением то координаты любой точки L удовлетворяют этому уравнению, а координаты всякой точки плоскости лежащей вне L, уравнению (15) не удовлетворяют.

Уравнение (15) называется уравнением линии

Замечание. Не следует думать, что любое уравнение определяет какую-нибудь линию. Например, уравнение не определяет никакой линии. В самом деле, при любых действительных значениях и у левая часть данного уравнения положительна, а правая равна нулю, и следовательно, этому уравнению не могут удовлетворять координаты никакой точки плоскости

Линия может определяться на плоскости не только уравнением, содержащим декартовы координаты, но и уравнением в полярных координатах. Линией, определяемой уравнением в полярных координатах, называется геометрическое место точек плоскости, полярные координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Пример 1. Построить спираль Архимеда при .

Решение. Составим таблицу для некоторых значений полярного угла и соответствующих им значений полярного радиуса .

Строим в полярной системе координат точку , которая, очевидно, совпадает с полюсом; затем, проведя ось под углом к полярной оси, строим на этой оси точку с положительной координатой после этого аналогично строим точки с положительными значениями полярного угла и полярного радиуса (оси для этих точек на рис. 30 не указаны).

Соединив между собой точки получим одну ветвь кривой, обозначенную на рис. 30 жирной линией. При изменении от 0 до эта ветвь кривой состоит из бесконечного числа витков.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является уравнение линии на плоскости .

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии (рис.1).

В общем случае уравнение линии может быть записано в виде F(x,y)=0 или y=f(x).

Пример. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точек А(-4;2), B(-2;-6).

Решение. Если M(x;y) – произвольная точка искомой линии (рис.2), то имеем AM=BM или

После преобразований получим

Очевидно, что это уравнение прямой MD – перпендикуляра, восстановленного из середины отрезка AB .

Из всех линий на плоскости особое значение имеет прямая линия . Она является графиком линейной функции, используемой в наиболее часто встречающихся на практике линейных экономико-математических моделях.

Различные виды уравнения прямой:

1)с угловым коэффициентом k и начальной ординатой b :

y = kx + b ,

где – угол между прямой и положительным направлением оси ОХ (рис. 3).

Особые случаи:

– прямая проходит через начало координат (рис.4):

– биссектриса первого и третьего, второго и четвертого координатных углов:

y=+x, y=-x;

– прямая параллельна оси ОХ и сама ось ОХ (рис. 5):

y=b, y=0;

– прямая параллельна оси OY и сама ось ОY (рис. 6):

x=a, x=0;

2) проходящей в данном направлении (с угловым коэффициентом) k через данную точку (рис. 7):

Если в приведенном уравнении k – произвольное число, то уравнение определяет пучок прямых , проходящих через точку , кроме прямой , параллельной оси Oy.

Пример А(3,-2) :

а) под углом к оси ОХ;

б) параллельно оси OY.

Решение .

а) , y-(-2)=-1(x-3) или y=-x+1;

б) х=3.

3) проходящей через две данные точки (рис. 8):

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4), В(3,-2).

Решение . ,

4) уравнение прямой в отрезках (рис.9):

где a, b – отрезки, отсекаемые на осях соответственно Ox и Oy.

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2,-1) , если эта прямая отсекает от положительной полуоси Oy отрезок, вдвое больший, чем от положительной полуоси Ox (рис. 10).

Решение . По условию b=2a , тогда . Подставим координаты точки А(2,-1):

Откуда a=1,5.

Окончательно получим:

Или y=-2x+3.

5) общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0,

где a и b не равны одновременно нулю.

Некоторые важные характеристики прямых :

1) расстояние d от точки до прямой:

2) угол между прямыми и соответственно:

3) условие параллельности прямых:

или .

4) условие перпендикулярности прямых:

или .

Пример 1 . Составить уравнение двух прямых, проходящих через точку А(5,1) , одна из которых параллельна прямой 3x+2y-7=0 , а другая перпендикулярна той же прямой. Найти расстояние между параллельными прямыми.

Решение . Рисунок 11.

1) уравнение параллельной прямой Ax+By+C=0 :

из условия параллельности ;

взяв коэффициент пропорциональности, равный 1, получим А=3, В=2;

т.о. 3x+2y+C=0;

значение С найдем, подставив координаты т. А(5,1),

3*5+2*1+С=0, откуда С=-17;

уравнение параллельной прямой – 3x+2y-17=0.

2) уравнение перпендикулярной прямой из условия перпендикулярности будет иметь вид 2x-3y+C=0;

подставив координаты т. А(5,1) , получим 2*5-3*1+С=0 , откуда С=-7;

уравнение перпендикулярной прямой – 2x-3y-7=0.

3) расстояние между параллельными прямыми можно найти как расстояние от т. А(5,1) до дано прямой 3x+2y-7=0:

Пример 2 . Даны уравнения сторон треугольника:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Составить уравнение биссектрисы угла АВС .

Решение . Вначале найдем координаты вершины В треугольника:

Откуда x=-8, y=0, т.е. В(-8,0) (рис. 12).

По свойству биссектрисы расстояния от каждой точки M(x,y) , биссектрисы BD до сторон АВ и ВС равны, т.е.

Получаем два уравнения

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Из рисунка 12 угловой коэффициент искомой прямой отрицательный (угол с Ох тупой), следовательно, нам подходит первое уравнение x+7y+8=0 или y=-1/7x-8/7.

1 0 . Полярная система координат . Будем говорить, что на плоскости введена полярная система координат, если на ней выбрана точкаO – полюс, луч, выходящий из полюсаO – полярная ось и масштабный отрезок.

Пусть M – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсомO (рис.3.4 хх). Первой полярной координатой точкиM (полярным радиусом) называется расстояние от точкиM до полюсаO . второй полярной координатой точкиM (или амплитудой) называется уголот полярной оси (луча
) до лучаOM . Для точкиO считают
,– произвольное число.

Из определения полярных координат и их геометрического смысла следует, что

Значения второй координаты, лежащие в пределах
называют главные значением угла.

Замечание . В полярной системе координат нет взаимно однозначного соответствия между точками плоскости и упорядоченной парой чисел (,):(,) соответствует единственная точка плоскости, но
соответствует бесчисленное множество пар (,+
).

Задать точку M в полярной системе координат означает задать два числаи:M (,).

Установим связь между декартовыми и полярными координатами (одной и той же) точки M .

Для этого введем оси
и
как показано на рис.3.5 хх. Масштабный отрезок полярной системы
примем и за масштабный отрезок декартовой системы
.

Пусть
– декартовы,
– полярные координаты некоторой точкиM . Тогда

и обратно,

По формулам (3.2) переходят от полярных координат к декартовым, по (3.2’) – от декартовых координат к полярным.

2 0 . Понятие линии и ее уравнения. Понятие линии является одним из самых трудных понятий математики. Общее определение линии дается в топологии (одном из разделов математики). Получено оно было в двадцатые годы прошлого столетия советским математиком П.С.Урысоном.

Здесь мы не будем заниматься определением линии ; дадим лишь определение того, что называетсяуравнением линии .

Определение 1 . Уравнением линии (обозначают (L ), либоL – без скобок) в декартовой системе координат называется уравнение

, (3.3)

которому удовлетворяют координаты
всех точек
и только координаты таких точек (то есть координаты точек, не лежащих на линииL , не удовлетворяют (3.3) – не обращают его в тождество).

В частности, уравнение линии L может иметь вид:

. (3.3’)

Определение 2 . Уравнением линии в полярной системе координат называется уравнение

, (3.4)

которому удовлетворяют полярные координаты
всех точек
и только координаты таких точек.

В частности, уравнение линии L в полярных координатах может иметь вид:

. (3.4’)

Определение 3 . Параметрическими уравнениями линииL в декартовой системе координат называются уравнения вида

(3.5)

где функции
и
имеют одну и ту же область определения – промежутокT .
соответствует точка
рассматриваемой линииL и
соответствует некоторому значению
(то есть

такое, что
и
будут координатами точкиM ).

Замечание 1 . Аналогично определяются параметрические уравнения линии в полярных координатах.

Замечание 2 . В курсе аналитической геометрии (на плоскости) рассматриваются две основные задачи:

1) известны геометрические свойства некоторой линии на плоскости; составить ее уравнение;

2) известно уравнение линии L ; построить эту линию, установить ее геометрические свойства.

Рассмотрим примеры.

Пример 1 . Найти уравнение окружностиL радиусаR , центр которой находится в точке
(рис.3.6 хх).

Замечание. Прежде, чем переходить к решению задачи, сделаем замечание (которому надо следовать и в дальнейшем): решение задачи на определение геометрического места точек начинается с введения произвольной («текущей») точки с координатами
этого геометрического места.

Решение . Пусть точка
– произвольная точка окружностиL . По определению, окружность есть геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки – ее центра:CM = R . По формуле (2.31) (в ней надо положить
) находим:

(3.6)

.– уравнение искомой окружности.

Если центр С лежит в начале координат, то
и уравнение

(3.6’)

есть уравнение такой окружности.

Пример 2 . Пусть криваяL задана уравнением:
. Построить эту кривую; установить, проходит ли она через точку
? через точку
?

Решение . Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив в ней полные квадраты:или
– это уравнение определяет окружность с центром в точке
радиуса
.

Координаты точки
удовлетворяют уравнению окружности:– точкаO лежит на окружности; координаты же точки
не удовлетворяют уравнению окружности.

Пример 3 . Найти геометрическое место точек, отстоящих от точки
вдвое дальше, чем от точки
.

Решение . Пусть
– текущая точка (искомого) геометрического места. Тогдаи из условия задачи пишем уравнение:.

Возведем это равенство в квадрат и преобразуем:

– искомое место есть окружность с центром в точке
и радиусомR =10.

Приведем примеры на определение уравнений линий в полярной системе координат.

Пример 4 . Составить уравнение окружности радиусаR с центром в полюсеO .

Решение . Пусть
есть произвольная точка окружностиL (рис.3.7 хх). Тогда
или

(3.7)

– этому уравнению удовлетворяют точки, лежащие на окружности L , и не удовлетворяют точки, не лежащие на ней.

Пример 5 . Составить уравнение прямой, проходящей через точку
параллельно полярной оси (рис.3.8 хх).

Решение . Из прямоугольного треугольникаOAM следует, что
– имеем уравнение прямой в полярной системе координат.

Замечание . Уравнение прямой в декартовой системе координат:
; подставляя
из (3.2), получим
или
.

Пример 6 . Построить кривую.

Решение . Заметим, что кривая симметрична относительно полярной оси:
=
=
=
. Поэтому если точка
, то и точка
.

Даем полярному углу различные значения от=0 до=и определяем соответствующие этим углам значения. Запишем это в виде таблицы 1.

Таблица 1.

Из точки O проводим лучи
,
,…,
,
и откладываем на них отрезки
,
,…,
,
. Через полученные точки
,
,…,
,
проводим плавную линию – получим верхнюю половину кривой. Нижнюю достраиваем симметричным отражением верхней относительно полярной оси.

Полученная замкнутая кривая (рис.3.9 хх) называется кардиоидой (сердцеобразной).

Пример 7 . Записать уравнение линии
(равнобочной гиперболы) в полярной системе координат.

Решение . Заменяяx иy по формулам (3.2), получим, и
есть уравнение заданной линии в полярной системе координат.

Пример 8 . Записать уравнение кривой
в прямоугольной декартовой системе координат.

Решение . Запишем уравнение кривой в виде
. По формулам (3.2’) преобразуем его к виду
; возводя это равенство в квадрат, после несложных преобразований придем к уравнению
– эта кривая называется параболой (см. ниже).

Пример 9 . Приведем пример на параметрическое задание кривой. Пусть дана окружность радиусаR с центром в начале координат и пусть
– декартовы координаты текущей точкиM :M
. Пусть, далее,
– полярные координаты той же точки. По формулам (3.2) тогда

где параметр t принимает все значения от 0 до
, есть параметрическое уравнение искомой окружности.

Если центр С окружности взят в точке с координатами
, то, как нетрудно показать, формулы

дают параметрические уравнения соответствующей окружности.

Цель: Рассмотреть понятие линии на плоскости, привести примеры. Основываясь на определение линии, ввести понятие уравнения прямой на плоскости. Рассмотреть виды прямой, привести примеры и способы задания прямой. Закрепить умение переводить уравнение прямой из общего вида в уравнение прямой «в отрезках», с угловым коэффициентом.

1. Уравнение линии на плоскости.
2. Уравнение прямой на плоскости. Виды уравнений.
3. Способы задания прямой.

1. Пусть х и у – две произвольные переменные.

Определение : Соотношение вида F(x,y)=0 называется уравнением , если оно справедливо не для всяких пар чисел х и у.

Пример : 2х + 7у – 1 = 0 , х 2 + y 2 – 25 = 0.

Если равенство F(x,y)=0 выполняется для любых х, у, то, следовательно, F(x,y) = 0 – тождество.

Пример: (х + у) 2 - х 2 - 2ху - у 2 = 0

Говорят, что числа х 0 и у 0 удовлетворяют уравнению , если при их подстановке в это уравнение оно обращается в верное равенство.

Важнейшим понятием аналитической геометрии является понятие уравнения линии.

Определение : Уравнением данной линии называется уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют координаты всех точек, лежащих на этой линии, и не удовлетворяют координаты никакой из точек, не лежащих на этой линии.

Линия, определяемая уравнением y = f(x), называется графиком функции f(x). Переменные х и у – называются текущими координатами, т. к. являются координатами переменной точки.

Несколько примеров определения линий.

1) х – у = 0 => х = у. Это уравнение определяет прямую:

2) х 2 - у 2 = 0 => (х-у)(х+у) = 0 => точки должны удовлетворять либо уравнению х - у = 0, либо уравнению х + у = 0, что соответствует на плоскости паре пересекающихся прямых, являющихся биссектрисами координатных углов:

3) х 2 + у 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка О(0,0).

2. Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А 2 + В 2 ¹ 0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ¹ 0, В ¹ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ¹ 0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ¹ 0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких–либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k .

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

Нормальное уравнение прямой.

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число , которое называется нормирующем множителем , то получим

xcosj + ysinj - p = 0 –нормальное уравнение прямой.

Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы m×С < 0.

р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а j - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

3. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть угловой коэффициент прямой равен k, прямая проходит через точку М(х 0 , у 0). Тогда уравнение прямой находится по формуле: у – у 0 = k(x – x 0)

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2, y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ¹ х 2 и х = х 1 , еслих 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение линии на плоскости

Основные вопросы лекции: уравнения линии на плоскости; различные формы уравнения прямой на плоскости; угол между прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых; расстояние от точки до прямой; кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их уравнения и геометрические свойства; уравнения плоскости и прямой в пространстве.

Уравнение вида называется уравнением прямой в общем виде.

Если выразить в этом уравнении , то после замены и получим уравнение , называемое уравнением прямой с угловым коэффициентом, причем , где – угол между прямой и положительным направлением оси абсцисс. Если же в общем уравнении прямой перенести свободный коэффициент в правую сторону и разделить на него, то получим уравнение в отрезках

Где и – точки пересечения прямой с осями абсцисс и ординат соответственно.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Пусть заданы две прямые и .

Чтобы найти точку пересечения прямых (если они пересекаются) необходимо решить систему с этими уравнениями. Решение этой системы и будет точкой пересечения прямых. Найдем условия взаимного расположения двух прямых.

Так как , то угол между этими прямыми находится по формуле

Отсюда можно получить, что при прямые будут параллельными, а при – перпендикулярны. Если прямые заданы в общем виде, то прямые параллельны при условии и перпендикулярны при условии

Расстояние от точки до прямой можно найти по формуле

Нормальное уравнение окружности:

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

. Вершинами эллипса называются точки , , ,. Эксцентриситетом эллипса называется отношение

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где - большая полуось, - малая полуось и . Фокусы находятся в точках . Вершинами гиперболы называются точки , . Эксцентриситетом гиперболы называется отношение

Прямые называются асимптотами гиперболы. Если , то гипербола называется равнобочной.

Из уравнения получаем пару пересекающихся прямых и .

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, от каждой из которых расстояние до данной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до данной прямой называемой директрисой, есть величина постоянная.

Каноническое уравнение параболы

Прямая называется директрисой, а точка – фокусом.

Понятие функциональной зависимости

Основные вопросы лекции: множества; основные операции над множествами; определение функции, ее область существования, способы задания; основные элементарные функции, их свойства и графики; числовые последовательности и их пределы; предел функции в точке и на бесконечности; бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства; основные теоремы о пределах; замечательные пределы; непрерывность функции в точке и на интервале; свойства непрерывных функций.

Если каждому элементу множества ставится в соответствие вполне определенный элемент множества , то говорят что на множестве задана функция. При этом называется независимой переменной или аргументом, а – зависимой переменной, а буква обозначает закон соответствия.

Множество называется областью определения или существования функции, а множество – областью значений функции.

Существуют следующие способы задания функции

1. Аналитический способ, если функция задана формулой вида

2. Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции

3. Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента , а ординаты – соответствующие им значения функции

4. Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления.

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность. Функция называется четной, если для всех значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

3. Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случае функция называется неограниченной.

4. Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Классификация функций.

1. Обратная функция. Пусть есть функция от независимой переменной , определенной на множестве с областью значений . Поставим в соответствие каждому единственное значение , при котором . Тогда полученная функция , определенная на множестве с областью значений называется обратной.

2. Сложная функция. Пусть функция есть функция от переменной , определенной на множестве с областью значений , а переменная в свою очередь является функцией.

Наиболее часто используются в экономике следующие функции.

1. Функция полезности и функция предпочтений – в широком смысле зависимости полезности, то есть результата, эффекта некоторого действия от уровня интенсивности этого действия.

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов.

3. Функция выпуска (частный вид производственной функции) – зависимость объема производства от начало или потребления ресурсов.

4. Функция издержек (частный вид производственной функции) – зависимость издержек производства от объема продукции.

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления или предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов.

Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число то говорят, что задана числовая последовательность .

:

Числа называются членами последовательности, а число - общим членом последовательности.

Число называется пределом числовой последовательности , если для любого малого числа найдется такой номер (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно равенство .Предел числовой последовательности обозначается .

Последовательность имеющая предел называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Число называется пределом функции при , если для любого малого числа найдется такое положительное число , что для всех таких, что верно неравенство .

Предел функции в точке. Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , если для любого, даже сколь угодно малого , найдется такое положительное число (зависящий от ), что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство . Этот предел обозначается .

Функция называется бесконечно малой величиной при, если ее предел равен нулю.

Свойства бесконечно малых величин

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечен малой величины на ограниченную функцию есть величина бесконечно малая

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Понятие производной и дифференциала функции

Основные вопросы лекции: задачи, приводящие к понятию производной; определение производной; геометрический и физический смысл производной; понятие дифференцируемой функции; основные правила дифференцирования; производные основных элементарных функций; производная сложной и обратной функции; производные высших порядков, основные теоремы дифференциального исчисления; теорема Лопиталя; раскрытие неопределенностей; возрастание и убывание функции; экстремум функции; выпуклость и вогнутость графика функции; аналитические признаки выпуклости и вогнутости; точки перегиба; вертикальные и наклонные асимптоты графика функции; общая схема исследования функции и построение ее графика, определение функции нескольких переменных; предел и непрерывность; частные производные и дифференциал функции; производная по направлению, градиент; экстремум функции нескольких переменных; наибольшее и наименьшее значения функции; условный экстремум, метод Лагранжа.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует)

.

Если функция в точке имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция дифференцируемая в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Геометрический смысл производной: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, приведенной к кривой в точке .

Тогда уравнение касательной к кривой в точке примет вид

Механический смысл производной: производная пути по времени есть скорость точки в момент времени :

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени есть производительность труда в момент

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Производная функции может быть найдена по следующей схеме

1. Дадим аргументу приращение и найдем наращенное значение функции .

2. Находим приращение функции .

3. Составляем отношение .

4. Находим предел этого отношения при, то есть (если этот предел существует).

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, то есть.

2. Производная аргумента равна 1, то есть .

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, то есть .

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, то есть

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

.

Теорема. Если и – дифференцируемые функции от своих переменных, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной , то есть

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, то есть .

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при:

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на один процент.

Геометрически это означает что эластичность функции (по абсолютной величине) равна отношению расстояний по касательной от данной точки графика функции до точек ее пересечения с осями и .

Основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции , то есть .

2. Эластичность произведения (частного) двух функций равна сумме (разности) эластичностей этих функций:

, .

3. Эластичность взаимообратных функций – взаимно обратные величины:

Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления.

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть .

Теорема Ролля. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке ;

2) дифференцируема на интервале ;

3) на концах отрезка принимает равные значения, то есть .

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная функции равна нулю: .

Теорема Лагранжа. Пусть функция удовлетворяет следующим условиям

1. Непрерывна на отрезке .

2. Дифференцируема на интервале ;

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка , в которой производная равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке, то есть .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида или , то

Теорема (достаточное условие возрастания функции)

Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастаетна этом промежутке.

Теорема (достаточное условие убывания функции), Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка, то она убывает на этом промежутке.

Точка называется точкой максимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство .

Значения функции в точках и называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Для того, чтобы функция имела экстремум в точке необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Первое достаточное условие экстремума. Теорема.

Если при переходе через точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка есть точка максимума функции , а если с минуса на плюс, – то точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует.

3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Второе достаточное условие экстремума. Теорема.

Если первая производная дважды дифференцируемой функции равна нулю в некоторой точке , а вторая производная в этой точке положительна, то есть точка минимума функции , если отрицательна, то – точка максимума.

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений на отрезке пользуемся следующей схемой.

1. Найти производную .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Функция называется выпуклой вверх на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит под графиком функции.

Функция называется выпуклой вниз на промежутке Х, если отрезок соединяющий любые две точки графика лежит над графиком функции.

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, то есть .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1. Найти вторую производную функции .

2. Найти точки, в которых второй производная или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

При исследовании функции на построение их графиков рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность – нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращении независимой переменной.

Пусть имеется переменных величин, и каждому набору их значений из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины . Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных .

Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимой переменной. Множество Х называется областью определения функции.

Многомерным аналогом функции полезности является функция , выражающая зависимость от приобретенных товаров.

Также на случай переменных обобщается понятие производственной функции, выражающей результат производственной деятельности от обусловивших его факторов . меньшее, чем по определению и непрерывны в самой точке. Тогда частные производные., и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой критической точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Литература

1. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2003.

2.Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская Теория вероятностей в задачах и упражнениях / М. ИНФРА-М 2005.

3. Высшая математика для экономистов: Практикум / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2004. Ч. 1, 2

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Высшая школа, 1977

6. М.С. Красс Математика для экономических специальностей: Учебник/ М. ИНФРА-М 1998.

7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М., 2000.

8.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1971.

9.А.К. Казашев Сборник задач по высшей математике для экономистов – Алматы - 2002 г.

10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985, Т. 1,2.

11.П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевников Высшая математика в упражнениях и задачах/ М. ОНИКС-2005.

12.И.А. Зайцев Высшая математика/ М. Высшая школа-1991 г.

13.Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1985.

14.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы анализа экономики. – М.: ДИС, 1997.

15.Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 1982 – Ч 1, 2.

16.Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М.: Инфра-М, 1997.

17.В.С. Шипацев Задачник по высшей математике-М. Высшая школа, 2005 г.