Замкнутым если оно вещественное и. Понятие счетного множества. Теория вещественных чисел. Операции над множествами

В курсе математического анализа на первом курсе ВУЗов встречается много непонятного и непривычного. Одна из первых таких «новых» тем — это открытые и замкнутые множества . Постараемся дать пояснения по данной тематике.

Перед тем, как приступить к постановке определений и задач, напомним значение используемых обозначений и кванторов :
∈ — принадлежит
∅ — пустое множество
Ε — множество действительных чисел
х* — закреплённая точка
А* — множество граничных точек
: — такое, что
⇒ — следовательно
∀ — для каждого
∃ — существует
U ε (х) — окрестность х по ε
Uº ε (х) — проколотая окрестность х по ε

Итак,
Определение 1: Множество М ∈ Ε называется открытым, если для любого у ∈ М найдётся такое ε > 0, что окрестность y по ε строго меньше М
С помощью кванторов определение запишется следующим образом:
М ∈ Ε — открытое, если ∀ у∈М ∃ ε>0: U ε (y) < M

Простым языком — открытое множество состоит из внутренних точек. Примерами открытого множества являются пустое множество, прямая, интервал (а, b)

Определение 2: Точка x* ∈ E называется граничной точкой множества М, если в любой окрестности точки х содержатся точки как из множества М, так и из его дополнения.
Теперь с помощью кванторов:
х*∈ E — граничная точка, если ∀U ε (x) ∩ М ≠ ∅ и ∀U ε (x) ∩ Е\М

Определение 3: Множество называется замкнутым, если ему принадлежат все граничные точки. Пример — отрезок

Стоит отметить, что существуют множества, которые одновременно и открытые, и замкнутые. Это, например, всё множество действительных чисел и пустое множество (позднее будет доказано, что это 2 возможных и единственных случая).

Докажем несколько теорем, связанных с открытым и замкнутым множествами.

Теорема 1: Пусть множество А — открытое. Тогда дополнение к множеству А является замкнутым множеством.

В = Е\А

Предположим, что В — незамкнутое. Тогда существует граничная точка х*, которая не принадлежит В, а значит — принадлежит А. По определению граничной точки окрестность х* имеет пересечение как с В, так и с А. Однако с другой стороны х* является внутренней точкой открытого множества А, поэтому вся окрестность точки х* лежит в А. Отсюда делаем вывод, что множества А и В пересекаются не по пустому множеству. Такого быть не может, поэтому наше предположение неверно и В является замкнутым множеством, ч. т. д.
В кванторах доказательство можно записать короче:
Предположим, что В — незамкнутое, тогда:
(1) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ∩ В ≠ ∅ (определение граничной точки)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ А ≠ ∅ (определение открытоко множества)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — замкнутое, ч. т. д.

Теорема 2: Пусть множество А — замкнутое. Тогда дополнение к множеству А является открытым множеством.
Доказательство: Обозначим дополнение множества А как множество В:
В = Е\А
Доказывать будем от противного.
Предположим, что В — замкнутое множество. Тогда любая граничная точка лежит в В. Но так как А — также замкнутое множество, то все граничные точки принадлежат и ему. Однако точка не может одновременно принадлежать множеству и его дополнению. Противоречие. В — открытое множество, ч. т. д.
В кванторах это выглядеть будет следующим образом:
Предположим, что В — замкнутое, тогда:
(1) ∀ х∈А*:х∈A (из условия)
(1) ∀ х∈А*:х∈В (из предположения)
Из (1) и (2) ⇒ А ∩ В ≠ ∅. Но А ∩ В = А ∩ Е\А = 0. Противоречие. В — открытое, ч. т. д.

Теорема 3: Пусть множество А — замкнутое и открытое. Тогда А = Е или А = ∅
Доказательство: Начнём записывать подробно, но сразу использую кванторы.
Предположим, что множество С — замкнутое и открытое, причём С ≠ ∅ и С ≠ Е. Тогда очевидно, что С ⊆ Е.
(1) ∃ х∈А*:х∈С ⇒ ∀U ε (x) ∩ Е\С ≠ ∅ (определение граничной точки, которая принадлежит С)
(2) ∃ х∈А*:х∈A ⇒ ∀U ε (x) ⊂ В (определение открытого множества С)
Из (1) и (2) следует, что Е\С ∩ С ≠ ∅, но это неверно. Противоречие. С не может быть одновременно и открытым, и замкнутым, ч. т. д.

Математический анализ — это фундаментальная математика, сложная и непривычная для нас. Но надеюсь, что-то стало понятнее после прочтения статьи. В добрый путь!

Posted by |

Определение: Множество A называется замкнутым относительно операции *, если результат применения этой операции к любым элементам множества A также является элементом множества A . (Если для любых a,b Î A , a *b Î A , то множество A замкнуто относительно операции *)

Для доказательства замкнутости множества относительно операции необходимо либо непосредственным перебором всех случаев убедиться в этом (пример 1б), либо провести рассуждение в общем виде (пример 2). Чтобы опровергнуть замкнутость, достаточно привести один пример, демонстрирующий нарушение замкнутости (пример 1а).

Пример 1 .

Пусть A = {0;1}.

а) В качестве операции * возьмем арифметическую операцию сложения (+). Исследуем множество A на замкнутость относительно операции сложения (+):

0 + 1 = 1 Î A ; 0 + 0 = 0 Î A ; 1 + 0 = 1Î A ; 1 + 1 = 2 Ï A .

Имеем, что в одном случае (1+1) результат применения операции (+) к элементам множества A не принадлежит множеству A . На основании этого делаем вывод о том, что множество A не является замкнутым относительно операции сложения.

б) Теперь в качестве операции * возьмем операцию умножения (×).

0×1 = 0 Î A ; 0×0 = 0 Î A ; 1×0 = 0 Î A ; 1×1 = 1 Î A .

Для любых элементов множества A результат применения операции умножения также является элементом множества A . Следовательно, A замкнуто относительно операции умножения.

Пример 2 .

Исследовать на замкнутость относительно четырех арифметических операций множество целых чисел, кратных 7.

Z 7 = {7n , n Î Z } – множество чисел, кратных семи.

Очевидно, что Z 7 – незамкнуто относительно операции деления, так как, например,

7 Î Z 7 , 14 Î Z 7 , но 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Докажем замкнутость множества Z 7 относительно операции сложения. Пусть m , k – произвольные целые числа, тогда 7m Î Z 7 и 7k Î Z 7 . Рассмотрим сумму 7m + 7 k = 7∙(m + k ).

Имеем m Î Z , k Î Z . Z – замкнуто относительно сложения Þ m + k = l – целое число, то есть l Î Z Þ 7l Î Z 7 .

Таким образом, для произвольных целых чисел m и k доказали, что (7m + 7 k) Î Z 7 . Следовательно, множество Z 7 замкнуто относительно сложения. Аналогично доказывается замкнутость относительно операций вычитания и умножения (проделайте это самостоятельно).

1.

а) множество четных чисел (иначе: множество целых чисел, делящихся на 2(Z 2));

б) множество отрицательных целых чисел (Z –);

в) A = {0;1};

г) C = {–1;0;1}.

2. Исследовать на замкнутость относительно арифметических операций сложения, вычитания, умножения и деления следующие множества:

а) множество нечетных чисел;

б) множество натуральных чисел, последняя цифра которых нуль;

в) B = {1};

г) D = {–1;1}.

3.

а) множество N натуральных чисел;

б) множество Q рациональных чисел;

в) D = {–1;1};

г) множество нечетных чисел.

4. Исследовать на замкнутость относительно операции возведения в степень следующие множества:

а) множество Z целых чисел;

б) множество R действительных чисел;

в) множество четных чисел;

г) C = {–1; 0; 1}.

5. Пусть множество G , состоящее только из рациональных чисел, замкнуто относительно сложения.

а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве G, если известно, что оно содержит число 4.

б) Докажите, что множество G содержит число 2, если оно содержит числа 5 и 12.

6. Пусть множество K , состоящее только из целых чисел, замкнуто относительно вычитания.

а) Укажите какие-либо три числа, содержащиеся во множестве K , если известно, что оно содержит число 5.

б) Докажите, что множество K содержит число 6, если оно содержит числа 7 и 3.

7. Приведите пример множества, состоящего из натуральных чисел и незамкнутого относительно операции:

а) сложения;

б) умножения.

8. Приведите пример множества, содержащего число 4 и замкнутого относительно операций:

а) сложения и вычитания;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Пусть Х - метрическое пространство, МÌ Х, аÎХ. Точка а называется предельной точкой М, если в любой окрестности а есть точки множества М\{a}. Последнее означает, что в любой окрестности а есть точки множества М, отличные от а.

Замечания. 1. Предельная точка может, как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Например, 0 и 1 являются предельными точками множества (0,2), но первая ему не принадлежит, а вторая принадлежит.

2. Точка множества М может не являться его предельной точкой. В этом случае она называется изолированной точкой М. Например, 1 - изолированная точка множества (-1,0)È{1}.

3. Если предельная точка а не принадлежит множеству М, то найдется последовательность точек х n ÎM, сходящаяся к а в этом метрическом пространстве. Для доказательства достаточно взять открытые шары в этой точке радиусов 1/n и выбрать из каждого шара точку, принадлежащую М. Верно и обратное, если для а есть такая последовательность, то точка является предельной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Замыканием множества М называется объединение М с множеством его предельных точек. Обозначение .

Отметим, что замыкание шара не обязано совпадать с замкнутым шаром того же радиуса. Например, в дискретном пространстве замыкание шара B(a,1) равно самому шару (состоит из одной точки a) в то время как замкнутый шар (a,1) совпадает со всем пространством.

Опишем некоторые свойства замыкания множеств.

1. МÌ . Это следует непосредственно из определения замыкания.

2. Если М Ì N, то Ì . Действительно, если a Î , a ÏМ, то в любой окрестности a есть точки множества М. Они же являются точками N. Поэтому aÎ . Для точек из М это ясно по определению.

4. .

5. Замыкание пустого множества пустое. Это соглашение не следует из общего определения, но является естественным.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Множество M Ì X называется замкнутым, если = M.

Множество M Ì X называется открытым, если замкнуто множество X\M.

Множество M Ì X называется всюду плотным в X, если = X.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Точка а называется внутренней точкой множества M, если B(a,r)ÌM при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точка а называется внешней точкой множества M, если шар B(a,r)ÌХ/M при некотором положительном r, т. е. внутренняя точка не входит во множество вместе с некоторой окрестностью. Точки, которые не являются ни внутренними, ни внешними точками множества M, называются граничными.

Таким образом, граничные точки характеризуются тем, что в каждой их окрестности есть точки как входящие, так и не входящие в M.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Для того, чтобы множество являлось открытым, необходимо и достаточно, чтобы все его точки были внутренними.

Примерами замкнутых множеств на прямой являются , , e > 0; Ue+(x) = }