Дельта функция в сферической системе координат. Фазовые переходы. Единичная функция включения Хевисайда, дельта функция Дирака и их основные свойства

1.Единичная функция включения Хевисайда, дельта функция Дирака и их основные свойства

Единичная функция Хевисайда

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция , функция единичного скачка , включенная единица ) - кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице - для положительных. В нуле эта функция не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Другое распространённое определение:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется для записи эмпирической функции распределения.

Функция Хевисайда является первообразной функцией для дельта-функции Дирака, H " = δ, это также можно записать как:

Дельта-функция

δ -функция (или дельта-функция, δ -функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция ) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.

Например, плотность единичной точечной массы, находящейся в точке a евклидова пространства , записывается с помощью δ-функции в виде δ(x − a ). Также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.

δ-функция есть обобщённая функция, это означает, что формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.

δ-функция не является функцией в классическом смысле, тем не менее нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к δ-функции.

Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная.

Свойства

Первообразной одномерной дельта-функции является функция Хевисайда:

Фильтрующее свойство дельта-функции:

2. Фильтр верхних частот (ФВЧ) - электронный или любой другой фильтр, пропускающий высокие частоты входного сигнала, при этом подавляя частоты сигнала меньше, чем частота среза. Степень подавления зависит от конкретного типа фильтра. Пассивный фильтр - электронный фильтр, состоящий только из пассивных компонентов, таких как, к примеру, конденсаторы и резисторы. Пассивные фильтры не требуют никакого источника энергии для своего функционирования. В отличие от активных фильтров в пассивных фильтрах не происходит усиления сигнала по мощности. Практически всегда пассивные фильтры являются линейными.

простейший электронный фильтр верхних частот состоит из последовательно соединённых конденсатора и резистора. Конденсатор пропускает лишь переменный ток, а выходное напряжение снимается с резистора. Произведение сопротивления на ёмкость (R×C) является постоянной времени для такого фильтра, которая обратно пропорциональна частоте среза в герцах.

(Либо так )

Преобразовать характеристику ФНЧ в характеристику ФВЧ можно с помощью замены переменной: где n – граничная частота полосы пропускания ФНЧ и

Преобразование схем пассивных LC -фильтров . Замена переменных (2.31) и (2.32) в выражении для квадрата АЧХ |H p (j )| 2 фильтра нижних частот приводит при реализации этой функции к преобразованию схемы ФНЧ в схемы ФВЧ и ПФ. Индуктивное сопротивление ФНЧ j н.ч L н.ч переходит при преобразовании частот (17.31) в сопротивление: т. е. в емкостное сопротивление ФВЧ, где C в.ч = 1/ п 2 L н.ч.

Емкостная проводимость: переходит в индуктивную проводимость фильтра ВЧ с индуктивностью L в.ч = 1/ п 2 C н.ч.

Преобразование передаточных функций активных RC-фильтров . В активных RC-фильтрах для того, чтобы перейти от передаточной функции ФНЧ-прототипа к передаточным функциям ФВЧ и ПФ, следует осуществить замену комплексной переменной р. Из (17.31) получаем для ФВЧ

или (17.34) где н.ч = н.ч/п и в.ч = в.ч/ п.

(Либо как писали на факультативе)

Дельта-функция Дирака

Дельта функция (5-функция) была введена английским физиком П. А. М. Дираком "по необходимости", когда он создавал математический аппарат квантовой механики. Математики некоторое время "не признавали" ее, после чего создали теорию обобщенных функций, частным случаем которых является δ-функция.

Согласно (наивному) определению δ-функция равна нулю всюду кроме одной точки, но при этом площадь охватываемая этой функцией равна единице:

Эти противоречивые

требования не могут быть удовлетворены функцией "обычного" типа.

Зельдович Я.Б. Высшая математика для начинающих физиков и техников. -М.: Наука, 1982.

На самом деле, как дифференциал δх не есть число (равное нулю), а словосочетание "бесконечно-малая величина" трудно понимаемо качественно, правильно понимать δх не как число, а как предел (процесс), так же δ-функцию правильно понимать как предел (процесс). На рис. 3.7.1 и 3.7.2 изображено несколько функций (зависящих от параметра), пределом которых и является δ-функция. Таких функций бесконечно много - каждый может выбрать свою.

δ-функция обладает многими полезными свойствами, являясь, в частности, континуальным аналогом символ Кронекера δкк

сравните с

Еще одно удивительное соотношение указывает как можно продифференцировать проинтегрировав:

где 8 - производная 8- функции.

Рис. 3.7.1 - Два последовательных приближения к δ-

функции Дирака. Изображена функция

Рис. 3.7.2 - Две функции, которые в пределе а ->∞ дают δ-функции:

Наконец заметим, что интервал от δ-функции:

где в(х) - функция Хевисайда,

ступенька, с разрывом в точке x = 0 .

Фазовые переходы

Для того чтобы говорить о фазовых переходах, необходимо определить, что такое фазы. Понятие фаз встречается во множестве явлений, поэтому вместо того, чтобы давать общее определение (чем оно более общее, тем оно, как и положено, более абстрактное и ненаглядное), приведем несколько примеров.

Вначале пример их физики. Для обычной, наиболее часто встречаемой в нашей жизни жидкости - воды известно три фазы: жидкая, твердая (лед) и газообразная (пар). Каждая из них характеризуется своими значениями параметров. Существенно то, что при изменении внешних условий одна фаза (лед) переходит в другую (жидкость). Еще один любимый объект теоретиков -ферромагнетик (железо, никель и множество других чистых металлов и сплавов). При низких температурах (для никеля ниже Т= 3600 С ) образец из никеля является ферромагнетиком, при снятии внешнего магнитного поля он остается намагниченным, т.е. может использоваться как постоянный магнит. При температуре выше Тс это свойство теряется, при выключении внешнего магнитного поля он переходит в парамагнитное состояние и не является постоянным магнитом. При изменении температуры происходит переход - фазовый переход - из одной фазы в другую.

Приведем еще один геометрический пример из теории перколяции. Случайно вырезая из сетки связи, в конце концов, когда концентрация оставшихся связей - р станет меньше некоторого значения рс , по решетке уже нельзя будет пройти "из одного конца в другой". Таким образом, сетка из состояния протекания - фаза "протекания", перейдет в состояние фазы "непротекания".

Из этих примеров ясно, что для каждой из рассмотренных систем существует так называемый параметр порядка, определяющий в какой из фаз находится система. В ферромагнетизме параметр порядка - намагниченность в нулевом внешнем поле, в теории перколяции - связность сетки, или, например, ее проводимость или плотность бесконечного кластера.

Фазовые переходы бывают разного рода. Фазовый переходы I рода - это такой переход, когда в системе может одновременно существовать несколько фаз. Например, при температуре 0° C лед плавает в воде. Если система находится в термодинамическом равновесии (нет подвода и отвода тепла), то лед не тает и не нарастает. Для фазовых переходов II рода существование одновременно нескольких фаз невозможно. Кусочек никеля либо находится в парамагнитном состоянии, либо в ферромагнитном. Сетка со случайно вырезанными связями либо связна, либо нет.

Решающим в создании теории фазовых переходов II рода, начало которой положил Л.Д. Ландау, было введение параметра порядка (будем обозначать его г] ) как отличительного признака фазы системы. В одной из фаз, например, парамагнитной, г] = 0 , а в другой, ферромагнитной, г ^ 0. Для магнитных явлений параметр порядка ] - это намагниченность системы.

Для описания фазовых переходов вводится некоторая функция параметров, определяющих состояние системы -G(n, T,...) . В физических системах это энергия Гиббса. В каждом явлении (перколяция, сеть "малых миров" и т.д.) эта функция определятся "самостоятельно". Главное свойство этой функции, первое предположение Л.Д. Ландау - в состоянии равновесия эта функция принимает минимальное значение:

В физических системах говорят о термодинамическом равновесии, в теории сложных цепей можно говорить об устойчивости. Заметим, что условие минимальности определяется варьированием параметра порядка.

Второе предположение Л.Д. Ландау - при фазовом превращении п = 0. Согласно этому предположению, функцию б(п,Т,...) вблизи точки фазового перехода можно разложить в ряд по степеням параметра порядка п:

где п = 0 в одной фазе (парамагнитной, если речь идет о магнетизме и несвязной, если о сетке) и п ^ 0 в другой (ферромагнитной или связной).

Из условия

что дает нам два решения

Для Т > Тс должно иметь место решение п = 0, а для Т < Тс решение п ^ 0. Этому можно удовлетворить, если для случая Т > Тс и п = 0 выбрать А > 0 . В этом случае второго корня не существует. А для случая Т < Тс должно иметь место второе решение, т.е. должно выполняться А < 0. Таким образом:

А > 0 при Т > Тс , А < 0 при Т < Тс ,

Второе предположение Ландау требует выполнения А(Тс) = 0 . Простейший вид функции А(Т), удовлетворяющий этим требованиям, есть

Так называемый критический индекс, а функция С(г],Т) принимает вид:

На рис. 3.8.1 изображена зависимость б(п, Т) для Т > Тс и Т < Тс .

Рис. 3.8.1 - Графики функции параметров G(п, Т) для Т > Тс и Т < Тс

Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. - М.: Мир, 1980. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. - М.: Мир, 1984.

Качественная зависимость параметров G{j], T) от параметра порядка ] изображена на рис. 3.8.1 (G0 = 0). Зависимость параметра порядка ] от температуры представлена на рис. 3.8.2.

В более продвинутой теории учтено, что при T > Tc параметр порядка ] , хоть и очень маленький, но не равен точно нулю.

Переход системы из состояния с h = 0 при Т > Тс в состояние с h - 0 при уменьшении Т и достижении значений Т £ Тс можно понимать, как потерю устойчивости положения h = 0 при Т £ Тс . Недавно появилась математическая теория

со звучным названием "Теория Катастроф" описывающая с единой точки зрения множество различных явлений. С точки зрения теории катастроф - фазовый переход второго рода это "катастрофа сборки".

Рис. 3.8.2 - Зависимость параметра порядка n от температуры: при T < Tc и вблизи Tc параметр порядка n ведет себя как степенная функция, а при T > Tc n = 0

Определение . Дельта-функция

,

моделирует точечное возмущение и определяется в виде

(2.1)

Функция равна нулю во всех точках, кроме
, где ее аргумент равен нулю, и где функция бесконечная, как показано на рис. 1,а . Задание
значениями в точках аргумента неоднозначно из-за ее обращения в бесконечность, поэтому дельта-функция является обобщенной функцией , и требует доопределения в виде нормировки.

Рис.1 . Дельта-функция

Условие нормировки

,
. (2.2)

Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a , как показано на рис 1,б . Поэтому дельта-функция моделирует точечное возмущение единичной величины.

Четность функции следует из (2.1)

,

. (2.2а)

Из симметрии
относительно точки
получаем

, (2.2б)

как следует из рис 1,б .

Ортонормированность . Множество функций

,
,

образует ортонормированный бесконечномерный базис.

Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в.

Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925)

Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа в теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений, как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет . Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда .

Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был одним из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН, основателем и директором которого он был с 1957 г. по 1983 г.

Сергей Львович Соболев (1908–1989)

Свойства дельта-функции Фильтрующее свойство

Для гладкой функции
, не имеющей разрывов, из (2.1)

получаем фильтрующее свойство дельта-функции в дифференциальной форме , затрагивающее одну точку
:

Полагаем
, и используем для дельта-функции предел при
, показанный на рис. 1,б . Находим

,

. (2.4)

Интегрируем (2.3) по интервалу
, включающем точку a , учитываем нормировку (2.2) и получаем фильтрующее свойство дельта-функции в интегральной форме

,
. (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем

,
,

и получаем условие ортонормированности базиса
с непрерывным спектром значений

. (2.7)

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

Определение . Дельта-функция

(2.1)

а обобщенной функцией

Рис.1 . Дельта-функция

Условие нормировки

, . (2.2)

a , как показано на рис 1,б

Четность функции следует из (2.1)

. (2.2а)

, (2.2б)

как следует из рис 1,б .

Ортонормированность . Множество функций

Свойства ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

Фильтрующее свойство

получаем

б , находим

,

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем

, ,

. (2.7)

Выполняется

,

, (2.8)

Доказательство

Упрощение аргумента

Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство

.

В малой окрестности разлагаем в ряд Тейлора

и ограничиваемся первыми двумя слагаемыми

Используем (2.8)

Сравниваем подынтегральные функции и получаем (2.9).

Свертка

Из определения свертки (1.22)

,

при получаем

.

Полагаем , и находим

. . (2.35а)

и (2.35а) дают

. (2.35б)

получаем

. (2.36а)

и (2.36а) дают

. (2.36б)

. (2.37а)

получаем

. (2.37б)

Гребенчатая функция

(2.53)

Моделирует неограниченную кристаллическую решетку, антенну и другие периодические структуры.

При Фурье-преобразовании гребенчатая функция переходит в гребенчатую функцию.

,

(2.8)

получаем

. (2.54)

Свойства

Функция четная

,

периодическая

,

период . Фильтрующее свойство дельта-функций дает

. (2.55)

Фурье-образ

Для периодической функции с периодом L Фурье-образ выражается через коэффициенты Фурье

, (1.47)

, (1.49)

Для гребенчатой функции с периодом получаем

,

где учтено фильтрующее свойство дельта-функции. Из (1.47) находим Фурье-образ

. (2.56)

Фурье-образом гребенчатой функции является гребенчатая функция .

Из (2.56) по теореме Фурье о масштабном преобразовании аргумента получаем

. (2.59)

Увеличение периода гребенчатой функции () уменьшает период и увеличивает амплитуду ее спектра .

Ряд Фурье

Используем

Для , получаем

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

Определение . Дельта-функция

моделирует точечное возмущение и определяется в виде

(2.1)

Функция равна нулю во всех точках, кроме , где ее аргумент равен нулю, и где функция бесконечная, как показано на рис. 1,а . Задание значениями в точках аргумента неоднозначно из-за ее обращения в бесконечность, поэтому дельта-функция является обобщенной функцией , и требует доопределения в виде нормировки.

Рис.1 . Дельта-функция

Условие нормировки

, . (2.2)

Площадь под графиком функции равна единице в любом интервале, содержащем точку a , как показано на рис 1,б . Поэтому дельта-функция моделирует точечное возмущение единичной величины.

Четность функции следует из (2.1)

. (2.2а)

Из симметрии относительно точки получаем

, (2.2б)

как следует из рис 1,б .

Ортонормированность . Множество функций

образует ортонормированный бесконечномерный базис.

Дельта-функцию применил в оптике Кирхгоф в 1882 г., в электромагнитной теории – Хевисайд в 90-х годах XIX в.

Густав Кирхгоф (1824–1887) Оливер Хевисайд (1850–1925)

Оливер Хевисайд – ученый самоучка, впервые использовал в физике векторы, разработал векторный анализ, ввел понятие оператора и разработал операционное исчисление – операторный метод решения дифференциальных уравнений. Ввел функцию включения, названную позже его именем, использовал точечную импульсную функцию – дельта-функцию. Применил комплексные числа в теории электрических цепей. Впервые записал уравнения Максвелла в виде 4-х равенств вместо 20 уравнений, как было у Максвелла. Ввел термины: проводимость, импеданс, индуктивность, электрет . Разработал теорию телеграфной связи на большие расстояния, предсказал наличие у Земли ионосферы – слой Кеннелли–Хевисайда.

Математическую теорию обобщенных функций разработал Сергей Львович Соболев в 1936 г. Он был одним из основателей Новосибирского Академгородка. Его именем назван Институт математики СО РАН.

Сергей Львович Соболев (1908–1989)

Свойства ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

Фильтрующее свойство

Для гладкой функции , не имеющей разрывов, из (2.1)

получаем

Полагая , и используя дельта-функцию в виде предела при , показанного на рис. 1,б , находим

,

Интегрирование дает фильтрующее свойство в интегральной форме

, . (2.5)

Ортонормированность базиса

В (2.5) полагаем

, ,

и получаем условие ортонормированности базиса с непрерывным спектром

. (2.7)

Масштабное преобразование аргумента

Выполняется

,

, (2.8)

Доказательство

Интегрируем произведение дельта функции с гладкой функцией по интервалу , где :

где сделана замена переменной и использовано фильтрующее свойство . Сравнение начального и конечного выражений дает (2.8).

Упрощение аргумента

Если – корни функции , тогда

. (2.9)

Доказательство

Функция отлична от нуля только вблизи точек , в этих точках она бесконечна.

Для нахождения веса, с которым входит бесконечность, интегрируем произведение с гладкой функцией по интервалу . Не равны нулю вклады только в окрестности точек

. , (2.10) . . (2.35а)

Теорема Фурье о смещении аргумента

и (2.35а) дают

. (2.35б)

Из (1.1) и интегрального представления (2.24)

получаем

. (2.36а)

Теорема Фурье о фазовом сдвиге функции

и (2.36а) дают

. (2.36б)

Из (2.35а) и теоремы Фурье о дифференцировании

. (2.37а)

Из (2.36а) и теоремы Фурье об умножении на аргумент

получаем

. (2.37б)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и методики преподавания математики

Выпускная квалификационная работа

Функция Дирака

Выполнила студентка V курса

математического факультета Прокашева Е.В.

________________________________/подпись/

Научный руководитель:

Ончукова Л.В.

подпись/

Рецензент:

старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ Фалелеева С.А.

________________________________/ подпись/

Допущена к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой М.В. Крутихина

Введение........................................................................................................... 3

Глава 1. Определение функции Дирака......................................................... 4

1.1. Основные понятия................................................................................ 4

1.2. Задачи, приводящие к определению дельта-функции Дирака………...10

1.2.1. Задача об импульсе ……………………………………………….10

1.2.2.Задача о плотности материальной точки……………………........11

1.3. Математическое определение дельта-функции………………………..16

Глава 2. Применение функции Дирака…………………………………………19

2.1. Разрывные функции и их производные………………………………….19

2.2. Нахождение производных разрывных функций………………………...21

Заключение………………………………………………………………………25

Введение

Развитие науки требует для ее теоретического обоснования все более и более «высокой математики», одним из достижений которой являются обобщенные функции, в частности функция Дирака. В настоящее время теория обобщенных функций актуальна в физике и математике, так как обладает рядом замечательных свойств, расширяющих возможности классического математического анализа, расширяет круг рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям в вычислениях, автоматизируя элементарные операции.

Цели данной работы:

1) изучить понятие функции Дирака;

2) рассмотреть физический и математический подходы к ее определению;

3) показать применение к нахождению производных разрывных функций.

Задачи работы: показать возможности использования дельта-функции в математике и физике.

В работе представлены различные способы определения и введения дельта-функции Дирака, ее применение при решении задач.

Глава 1

Определение функции Дирака

1.1. Основные понятия.

В разных вопросах математического анализа термин «функция» приходится понимать с разной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные, но не дифференцируемые функции, в других вопросах приходится предполагать, что речь идет о функциях, дифференцируемых один или несколько раз и т.д. Однако в ряде случаев классическое понятие функции, даже трактуемое в самом широком смысле, т.е. как произвольное правило, относящее каждому значению x из области определения этой функции некоторое число y=f(x),оказывается недостаточным.

Вот важный пример: применяя аппарат математического анализа к тем или иным задачам, нам приходится сталкиваться с таким положением, когда те или иные операции анализа оказываются невыполнимыми; например, функцию, не имеющую производной (в некоторых точках или даже всюду), нельзя дифференцировать, если производную понимать как элементарную функцию. Затруднений такого типа можно было бы избежать, ограничившись рассмотрением одних только аналитических функций. Однако такое сужение запаса допустимых функций во многих случаях весьма нежелательно. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой.

В 1930 году для решения задач теоретической физики крупнейшему английскому физику-теоретику П. Дираку, одному из основателей квантовой механики, не хватило аппарата классической математики, и он ввел новый объект, названный “дельта-функцией”, который выходил далеко за рамки классического определения функции.

П. Дирак в книге «Принципы квантовой механики» определил дельта-функцию δ(x) следующим образом:

.

Кроме того задается условие:

Наглядно можно представить график функции, похожей на δ(x), как показано на рисунке 1. Чем более у

зкой сделать полоску между левой и правой ветвью, тем выше должна быть эта полоска, для того чтобы площадь полоски (т.е. интеграл) сохраняла свое заданное значение, равное 1. При сужении полоски мы приближаемся к выполнению условия δ(x ) = 0 при x ≠ 0 , функция приближается к дельта-функции.

Такое представление общепринято в физике.

Следует подчеркнуть, что δ(x ) не является функцией в обычном смысле, так как из этого определения следуют несовместимые условия с точки зрения классического определения функции и интеграла:

и .

В классическом анализе не существует функции, обладающей свойствами, предписанными Дираком. Лишь несколько лет спустя в работах С.Л. Соболева и Л. Шварца дельта-функция получила свое математическое оформление, но не как обычная, а как обобщенная функция.

Прежде чем переходить к рассмотрению функции Дирака, введем основные определения и теоремы, которые нам будут необходимы:

Определение 1.Изображением функцииf(t) или L - изображением заданной функции f(t) называют функцию комплексной переменной p,определяемую равенством:

, где М и а – некоторые положительные постоянные.

Определение 2. Функция f (t ) , определенная так:

, называется единичной функцией Хевисайда и обозначается через . График этой функции изображен на рис.2

Найдем L – изображение функции Хевисайда:

. (1)

Пусть функция f(t) при t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Для нахождения изображения δ(x) с помощью вспомогательной функции рассмотрим теорему запаздывания:

Теорема 1. Если F (p ) есть изображение функции f (t ), то есть изображение функции f (t - t 0 ), то есть если L { f (t )}= F (p ), то

.

Доказательство.

По определению изображения имеем