Главная > Литература > Архив рубрики: Задачи на определение перемещений. Перемещения в балках при изгибе Прогиб и угол поворота формула

Архив рубрики: Задачи на определение перемещений. Перемещения в балках при изгибе Прогиб и угол поворота формула

Балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой . Жесткость поперечного сечения балки на изгиб постоянна и равна . Прогиб в середине пролета балки длиной равен….

Консольная балка на участке АВ нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q. Жесткость поперечного сечения на изгиб по всей длине постоянна. Угол поворота сечения B , по абсолютной величине равен.…

Построим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (). Затем построим эпюру от единичного момента (), приложенного в сечении В . Определим угол поворота сечения В. Для этого перемножим эпюры от заданной нагрузки и единичного момента. На левом участке результат перемножения равен нулю. На правом участке обе эпюры линейные. Если взять площадь с единичной эпюры, получим: . Знак «минус» показывает, что сечение В поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента. При перемножении эпюр можно взять площадь грузовой эпюры, а ординату с единичной (как показано на рисунке).

Задание 25

При данном варианте нагружения в стержне прямоугольного (не квадратного) поперечного сечения имеет место комбинация…..

При внецентренном растяжении (сжатии) стержня в поперечном сечении возникают….

Продольная сила и изгибающий момент

В произвольном прямоугольном поперечном сечении стержня действуют внутренние силовые факторы: N – продольная сила; и − изгибающие моменты. Следовательно, имеет место комбинация.…

Растяжения и чистого косого изгиба

Изгибающие моменты можно геометрически сложить. Плоскость действия суммарного изгибающего момента не будет совпадать ни с одной из главных центральных плоскостей стержня. Поэтому имеет место комбинация растяжения и чистого косого изгиба.

На рисунке представлена схема нагружения стержня круглого сечения. В любом произвольном сечении стержня на участке II имеет место комбинация …

Плоского поперечного изгиба с кручением и растяжением

Рассекаем стержень на втором участке поперечным сечением и отбрасываем левую часть.

Из условий равновесия оставшейся части находим

Для круглого сечения () косой изгиб можно свести к плоскому изгибу, если геометрически сложить изгибающие моменты и , поперечные силы и Следовательно, на втором участке имеем плоский поперечный изгиб с кручением и растяжением.

Видами деформаций участков стержня являются …

I – изгиб с кручением, II – плоский изгиб

На рисунках изображены отсеченные части стержня. Поперечные силы условно не показаны. поэтому косой изгиб на участке II можно свести к плоскому изгибу моментом . На участке I сила вызывает деформацию – плоский изгиб с кручением. На участке II – плоский изгиб.

Задание 26

При данном нагружении стержня (сила лежит в плоскости ) максимальное нормальное напряжение возникает в точке….

Стержень прямоугольного сечения с размерами нагружен, как показано на схеме. Сила , размеры заданы. Сила лежит в плоскости . Значение нормального напряжения в точке равно….

(т.к.

После подстановки )

Максимальное нормальное растягивающее напряжение в стержне прямоугольного сечения с размерами и равно . Длина стержня l задана. Значение силы F равно.…

Максимальное нормальное растягивающее напряжение возникает в точке В , расположенной в сечении, бесконечно близком к заделке.

Учитывая, что в данном сечении и в точке В они вызывают растяжение, получим Следовательно, значение силы

Представлены эпюры распределения нормальных напряжений в поперечном сечении стержня. Косому изгибу при заданном нагружении стержня соответствует эпюра …

Из физического представления о процессе изгиба ясно, что верхние слои стержня будут растягиваться, а нижние – сжиматься. Кроме того, при косом изгибе нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения. Поэтому верным является 3 вариант.

Задание 27

Прочность колоны при удалении точки приложения сжимающей силы от центра тяжести сечения…….

Уменьшается

Линия действия сжимающей силы проходит через точку К контура ядра сечения. Нейтральная линия занимает положение……

(т.к. )

Стержень работает на внецентренное сжатие. В опасных точках поперечного сечения имеем ______________ напряженное состояние.

Линейное

При внецентренном сжатии в поперечном сечении стержня возникают два внутренних силовых фактора: продольная сила и изгибающий момент. Поэтому, напряжения в любой точке поперечного сечения будут складываться из нормальных напряжений осевого сжатия и нормальных напряжений от чистого, в общем случае косого, изгиба. Следовательно, в опасных точках сечения имеем линейное напряженное состояние.

Задание 28

Схема нагружения стержня круглого поперечного сечения показана на рисунке. Опасной будет точка……

Стержень круглого сечения диаметром , высотой нагружен двумя силами, лежащими в плоскости . Значение эквивалентного напряжения в точке , по теории больших касательных напряжений, равно……(Касательные напряжения от поперечной силы в расчетах не учитывать)

Стержень круглого сечения диаметром изготовлен из пластичного материала. Значение силы . Эквивалентное напряжение в опасной точке стержня, по теории наибольших касательных напряжений, равно.…

52 МПа

Опасное сечение при данном нагружении стержня будет у заделки. Влиянием поперечных сил пренебрегаем. Значения избегающих моментов и крутящего момента в опасном сечении показаны на рисунке.

Используя теорию наибольших касательных напряжений, найдем эквивалентное напряжение в опасной точке: или После подстановки заданных значений и получим

Стержень работает на деформации изгиб и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасной точке поперечного сечения круглого стержня, называется …

Плоским

Если элементарный объем поворачивать вокруг нормали к внешней цилиндрической поверхности, то можно отыскать такое его положение, при котором касательные напряжения на его гранях будут равны нулю, а нормальные напряжения (главные напряжения) нулю равняться не будут. Так как нормальное напряжение по верхней грани (одно из главных напряжений) равно нулю, то напряженное состояние является плоским.

Ломаный стержень круглого сечения диаметром d нагружен силой F . Длины участков одинаковы и равны Значение максимального эквивалентного напряжения в стержне, по теории наибольших касательных напряжений, равно …

Опасное сечение в стержне расположено бесконечно близко к заделке. В данном сечении действуют изгибающий момент и крутящий момент На основании теории наибольших касательных напряжений эквивалентное напряжение в опасной точке круглого сечения определяется по формуле где Следовательно,

Стержень прямоугольного сечения испытывает деформации изгиба в двух плоскостях и кручение. Напряженное состояние, которое возникает в опасных точках, будет …

Линейным и плоским

При оценке напряженного состояния в опасных точках прямоугольного сечения, когда оно работает на деформации изгиба в двух плоскостях и кручение, проверяют три точки: угловую, в середине длинной и в середине короткой сторон. В угловой точке возникают только нормальные напряжения. Следовательно, напряженное состояние будет линейным. В точках, расположенных в середине длинной и короткой сторон, наряду с нормальными напряжениями. появляются касательные. Поэтому в этих точках напряженное состояние будет плоским.

Задание 29

Жесткость поперечного сечения на изгиб по длине балки постоянна. Размер задан. Значение силы , при которой прогиб концевого сечения В будет , равно……

Криволинейный стержень радиусом нагружен силой .Жесткость поперечного сечения на изгиб задана. Вертикальное перемещение сечения В равно….

(т.к. )

Изогнутая под действием нагрузок ось балки представляет собой плавную кривую, которая называется упругой линией. Деформация балки при изгибе характеризуется прогибом у и углом поворота поперечного сечения , который равен углу а наклона касательной к упругой линии по отношению к оси z балки. Уравнения прогибов и углов поворота сечений в общем виде записываются в виде у = f(z), а = f 2 {z)

Из математики известно, что радиус кривизны кривой y = f(z),

в любой точке определяется по формуле где

Ввиду малости деформаций пренебрегаем величиной (у) 2 (так как она значительно меньше единицы) и тогда р * 1 /у". Ранее мы вывели формулу ; подставляя в нее полученное приближенное значение радиуса кривизны, имеем дифференциальное уравнение упругой линии балки:

Чтобы получить уравнение углов поворота сечений а = / 2 (z ), надо это уравнение проинтегрировать один раз, причем ввиду малости деформаций будем считать, что у" = tga * a , рад. Чтобы получить уравнение прогибов у = fi(z), надо это же уравнение проинтегрировать дважды.

Рассмотрим балку постоянного сечения, нагруженную моментом т, сосредоточенной силой F и равномерно распределенной нагрузкой

Рис. 6.23

Начало координат возьмем на левом конце балки, ось у направим вверх, а ось z - вправо. Рассматриваемая балка имеет пять участков, каждому из которых соответствует свое уравнение моментов, уравнение прогибов и уравнение углов поворота сечений. Обратим внимание на то, что упругая линия балки есть плавная кривая, следовательно, на границах участков значения углов поворота сечения и прогибов, вычисленных из уравнений соседних участков, будут совпадать. Интегрирование дифференциальных уравнений будем производить, не раскрывая скобок в уравнениях моментов, что сказывается лишь на значениях произвольных постоянных.

Участок 1 :

Участок 2

Подставив в уравнения первого и второго участков значение z~ о, получим

Участок 3:

Участок 4:

Так как на границах смежных участков справедливы уравнения и предыдущего и последующего участков, то Q = С 2 = С 3 = С 4 = С, D Z?2 Z) 3 Z?4 Z).

Обозначив через ао угол поворота сечения в начале координат (в радианах), а через у 0 - прогиб в начале координат, при z = 0 получим

Так как каждой отдельной нагрузке в уравнениях соответствует отдельное слагаемое, то в общем виде можно записать

обобщенное уравнение углов поворота сечений:

обобщенное уравнение прогибов:

Если равномерно распределенная нагрузка заканчивается не в конце балки, то эту нагрузку следует мысленно продолжить до конца и добавить противоположно направленную нагрузку такой же интенсивности (рис. 6.23, участок 5). При этом в обобщенные уравнения углов поворота и прогибов соответственно добавится еще по одному слагаемому с отрицательным знаком: -

Знаки слагаемых в обобщенных уравнениях устанавливают по правилу знаков для изгибающих моментов: положительное значение у обозначает прогиб вверх, и наоборот; положительное значение а означает поворот сечения против часовой стрелки, и наоборот.

При пользовании обобщенными уравнениями следует помнить, что:

1) для балки, жестко защемленной левым концом, ао = 0, уо = 0;
2) для балки, левый конец которой лежит на опоре, ао* 0, уо = 0; для определения ао следует составить уравнение прогибов для второй опоры и приравнять его нулю;
3) в сечении с максимальным прогибом угол поворота сечения а = 0, так как в этой точке упругой линии касательная параллельна оси Z-

Помимо расчетов на прочность балки нередко проверяют или рассчитывают на жесткость. Условие жесткости заключается в том, что максимальный прогиб (стрела прогиба f) или максимальный угол поворота не должны превышать допускаемых величин. Расчетные уравнения на жесткость имеют вид:

Допускаемую величину прогиба обычно задают в долях длины пролета /, например, для мостов [/] = (1/700...1/1000) /. Допускаемый угол поворота сечения задают в долях радиана.

В заключение параграфа выведем формулу потенциальной энергии деформации балки.

Из формулы определим кривизнуупругой линии

где dа - элементарный угол поворота сечения z на участке dz (угол смежности).

Тогда Элементарная потенциальная энергия деформации равна элементарной работе изгибающего момента и при статическом нагружении равна В результате интегрирования в пределах участка длиной / получим нужную формулу

Пример 6.8

Определить прогиб у в свободного конца консольной балки АВ, изгибаемой сосредоточенной силой /Грис. 6.24).

Решение. Реакция R A и момент защемления т А соответственно равны R A = = F,m A = FI. Учитывая, что уо = 0 и а 0 = 0, из обобщенного уравнения прогибов находим Е1у в = R A l 2 /в-т А 1 2 /2 . Подставив значения R A wm, получим

Пример 6.9

Определить максимальный прогиб и углы поворота сечений на опорах балки, показанной на рис. 6.25.

Решение. В силу симметрии балки реакции опор равны R A = R B = ql/2. Поместим начало координат на левой опоре; тогда у 0 = 0. Для определения ао используем условие, что при z = IУв = 0.

откуда а 0 = -ql 2 /(24 EI). Очевидно, что а в = -а 0 . Наибольшие углы поворота имеют опорные сечения.

Рис. 6.25

Максимальный прогиб находится посередине пролета балки, то есть при 1=1/ 2. Тогда

Следовательно,

Пример 6.10

Определить максимальный прогиб и угол поворота на опорах балки, нагруженной посередине пролета сосредоточенной силой (рис. 6.26).

Рис. 6.26

Решение. Реакции равны F/2 каждая и направлены снизу вверх. Помещаем начало координат на левой опоре, тогда уо = 0- Для определения а 0 используем условие, что при z = / прогиб равен нулю (у в = 0):

тогда следовательно,

Ввиду симметрии угол поворота на правой опоре

Максимальный прогиб будет при z = 4 2, тогда , следовательно, . Окончательно

Определение перемещений в балках аналитическим способом

Пример 1

Условие задачи

Для балки, показанной на рис. 4.20, а , требуется найти прогиб в сечении С , угол поворота в сечении В аналитическим способом и проверить условие жесткости, если допускаемый прогиб равен l /100. Балка выполнена из дерева и имеет поперечное сечение из трех бревен радиусом 12 см. (Подбор сечения этой балки см. в разд. 4.1.2, пример 1.)

Решение

Для определения перемещений балки аналитическим способом составим дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16), используя правила Клебша записи выражения для изгибающего момента. Начало координат в рассматриваемой задаче рациональнее выбрать справа (в заделке). Распределенную нагрузку , которая не доходит до левого конца балки, продлим до сечения С (рис. 4.20, в ). Выражение для изгибающего момента будет иметь такой вид:

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение (4.16) и проинтегрируем его два раза:

;

Для определения постоянных С и D запишем граничные условия: в заделке (в сечении А , где находится начало координат) угол поворота и прогиб балки равны нулю, то есть

И .

Подставляя эти условия в выражения для угла поворота и прогиба на первом участке, найдем, что

Теперь можно определить заданные перемещения. Для определения угла поворота в сечении В подставим в выражение для угла поворота на первом участке (только до черты с номером I) значение :

В соответствии с правилом знаков отрицательный знак угла поворота для выбранного начала координат х справа означает, что поворот сечения происходит по часовой стрелке.

В сечении С , где требуется найти прогиб, координата х равна , и это сечение находится на третьем участке балки, поэтому подставляем х = 4 м в выражение для прогибов, используя слагаемые на всех трех участках:

кН·м 3 .

Знак минус у найденного прогиба показывает, что сечение С перемещается вверх. Покажем найденные перемещения на изогнутой оси балки. Чтобы нарисовать ось балки после деформации, построим эпюру изгибающих моментов (рис. 4.20, б ). Положительный знак эпюры М на участке показывает, что балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, при отрицательном знаке М изогнутая ось имеет выпуклость вверх. Кроме того, деформированная ось балки должна удовлетворять условиям закрепления: в нашем случае на правом конце балка имеет жесткое защемление, и, как уже отмечалось при записи граничных условий, прогиб и угол поворота в защемлении должны равняться нулю. На рис. 4.20, г изображена ось рассматриваемой балки после деформации, удовлетворяющая этим условиям. На изогнутой оси показаны найденные прогиб в сечении С и угол поворота сечения В с учетом их знаков.

В заключение сосчитаем прогиб балки в сантиметрах, угол поворота в радианах и проверим условие жесткости. Найдем жесткость ЕI рассматриваемой деревянной балки из трех бревен радиусом 12 см. Момент инерции поперечного сечения

см 4 .

Модуль упругости дерева Е = 10 4 МПа = 10 3 кН / см 2 . Тогда

Прогиб балки в сечении С

см,

а угол поворота сечения В

рад.

Очевидно (см. рис. 4.20, г ), что найденный прогиб балки в сечении С является максимальным, поэтому для проверки условия жесткости сравним его с допускаемым прогибом. Для балки длиной м допускаемый прогиб согласно условию см. Таким образом, максимальный прогиб см меньше допускаемого, и условие жесткости выполняется.

Пример 2

Условие задачи

В балке с двумя консолями, показанной на рис. 4.21, а надо найти угол поворота сечения А и прогиб сечения D , используя аналитический способ. Сечение балки – двутавр № 24.

Решение

Выберем начало отсчета координаты х на левом конце балки в точке А и запишем выражение для изгибающего момента на всех участках с учетом правил Клебша:

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение изогнутой оси (4.16) и проинтегрируем его дважды:

Найдем произвольные постоянные С и D из граничных условий. В точках В и С , где находятся опоры, прогибы не возможны. Поэтому

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными С и D . Решая эту систему, найдем С = 40 кН·м 2 , D = – 40 кН·м 3 . Проанализируем результат, используя геометрический смысл произвольных постоянных С и D . На рис. 4.21, в показана изогнутая ось балки, соответствующая эпюре изгибающих моментов и условиям закрепления. Точка А , находящаяся в начале координат, перемещается вверх, и поэтому следует ожидать, что будет иметь в соответствии с правилом знаков отрицательный знак. Сечение в точке А поворачивается по часовой стрелке, поэтому постоянная должна быть положительна. Полученные знаки С и D не противоречат проведенному анализу.

Глава 1. ИЗГИБ ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ БАЛОК И БАЛОЧНЫХ СИСТЕМ

1.1. Основные зависимости теории изгиба балок

Балками принято называть стержни, работающие на изгиб под действием поперечной (нормальной к оси стержня) нагрузки. Балки – наиболее распространенные элементы судовых конструкций. Ось балки – геометрическое место центров тяжести ее поперечных сечений в недеформированном состоянии. Балка называется прямой, если осью является прямая линия. Геометрическое место центров тяжести поперечных сечений балки в изогнутом состоянии называется упругой линией балки. Принято следующее направление осей координат: ось OX совмещена с осью балки, а оси OY и OZ – с главными центральными осями инерции поперечного сечения (рис. 1.1).

Теория изгиба балок основывается на следующих допущениях.

1. Принимается гипотеза плоских сечений, согласно которой поперечные сечения балки, первоначально плоские и нормальные к оси балки, остаются после ее изгиба плоскими и нормальными к упругой линии балки. Благодаря этому деформацию изгиба балки можно рассматривать независимо от деформации сдвига, которая вызывает искажение плоскостей поперечных сечений балки и их поворот относительно упругой линии (рис. 1.2, а ).

2. Нормальными напряжениями в площадках, параллельных оси балки, пренебрегают из-заих малости (рис. 1.2, б ).

3. Балки считаются достаточно жесткими, т.е. прогибы их малы по сравнению с высотой балок, а углы поворота сечений малы по сравнению с единицей (рис.1.2, в ).

4. Напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, т.е. справедлив закон Гука (рис. 1.2, г ).

Рис. 1.2. Допущения теории изгиба балок

Будем рассматривать появляющиеся при изгибе балки в ее сечении изгибающие моменты и перерезывающие силы как результат действия мысленно отбрасываемой по сечению части балки на оставшуюся ее часть.

Момент всех действующих в сечении усилий относительно однойиз главных осей называется изгибающим моментом. Изгибающий момент равен сумме моментов всех сил (включая опорные реакции и моменты), действующих на отброшенную часть балки, относительно указанной оси рассматриваемого сечения.

Проекция на плоскость сечения главного вектора усилий, действующих в сечении, называется перерезывающей силой. Она равна сумме проекций наплоскость сечения всех сил (включая опорные реакции), действующих на отброшенную часть балки .

Ограничимся рассмотрением изгиба балки, происходящего в плоскости XOZ . Такой изгиб будет иметь место в случае, когда поперечная нагрузка действует в плоскости, параллельной плоскости XOZ , а ее равнодействующая в каждом сечении проходит через точку, называемую центром изгиба сечения. Заметим, что для сечений балок,имеющих две осисимметрии, центр изгиба совпадает с центром тяжести, а для сечений, имеющих одну ось симметрии, он лежит на осисимметрии, но не совпадает с центром тяжести.

Нагрузка входящих в состав судового корпуса балок может быть либо распределенной (чаще всего равномерно распределенной вдоль оси балки, или изменяющейся по линейному закону), либо приложенной в виде сосредоточенных сил и моментов.

Обозначим интенсивность распределенной нагрузки (нагрузку, приходящуюся на единицу длины оси балки) через q (x ), внешнюю сосредоточенную силу – как Р , а внешний изгибающий момент – как М . Распределенная нагрузка и сосредоточенная сила положительны, если направления их действия совпадают с положительным направлением оси OZ (рис. 1.3,а ,б ). Внешний изгибающий момент положителен, если он направлен по часовой стрелке (рис.1.3,в ).

Рис. 1.3. Правило знаков для внешних нагрузок

Обозначим прогиб прямой балки при ее изгибе в плоскости XOZ через w , а угол поворота сечения – через θ. Примем правило знаков для элементов изгиба (рис. 1.4):

1) прогиб положителен, если он совпадает с положительным направлением оси OZ (рис. 1.4, а ):

2) угол поворота сечения положителен, если в результате изгиба сечение поворачивается по часовой стрелке (рис. 1.4, б );

3) изгибающие моменты положительны, если балка под их воздействием изгибается выпуклостью вверх (рис. 1.4, в );

4) перерезывающие силы положительны, если они поворачивают выделенный элемент балки против часовой стрелки (рис. 1.4, г ).

Рис. 1.4. Правило знаков для элементов изгиба

На основании гипотезы плоских сечений можно видеть (рис. 1.5), что относительное удлинение волокна ε x , отстоящего на z от нейтральной оси, будет равно

ε x = −z /ρ ,(1.1)

где ρ – радиус кривизны балки в рассматриваемом сечении.

Рис. 1.5. Схема изгиба балки

Нейтральной осью поперечного сечения называется геометрическое место точек, для которых линейная деформация при изгибе равна нулю. Между кривизной и производными от w (x ) существует зависимость

В силу принятого допущения о малости углов поворота для достаточно жестких балок величина мала по сравнению с единицей , поэтому можно считать, что

Подставив 1/ρ из (1.2) в (1.1), получим

Нормальные напряжения от изгиба σ x на основании закона Гука будут равны

Поскольку из определения балок следует, что продольное усилие, направленное вдоль оси балки, отсутствует, главный вектор нормальных напряжений должен обращаться в нуль, т.е.

где F – площадь поперечного сечения балки.

Из (1.5) получим, что статический момент площади сечения балки равен нулю. Это значит, что нейтральная ось сечения проходит через его центр тяжести.

Момент внутренних усилий, действующих в поперечном сечении относительно нейтральной оси, M y будет

Если учесть, что момент инерции площади сечения относительно нейтральной оси OY равен , и подставить это значение в (1.6), то получим зависимость, которая выражает основное дифференциальное уравнение изгиба балки

Момент внутреннихусилий в сечении относительно оси OZ будет

Поскольку оси OY и OZ по условию являются главными центральными осями сечения, то .

Отсюда следует, что при действии нагрузки в плоскости, параллельной главной плоскости изгиба, упругая линия балки будет плоской кривой. Такой изгиб называется плоским . На основании зависимостей (1.4) и (1.7) получим

Формула (1.8) показывает, что нормальные напряжения при изгибе балок пропорциональны отстоянию от нейтральной оси балки. Естественно, что это вытекаетиз гипотезы плоских сечений. В практических расчетах для определения наибольших нормальных напряжений часто используют момент сопротивления сечения балки

где |z | max – абсолютное значение отстояния наиболее удаленного волокна от нейтральной оси.

В дальнейшем нижние индексы y для упрощения опущены.

Между изгибающим моментом, перерезывающей силой и интенсивностью поперечной нагрузки существует связь, вытекающая из условия равновесия элемента, мысленно выделенного из балки.

Рассмотрим элемент балки длиной dx (рис. 1.6). Здесь принимается, что деформации элемента пренебрежимо малы.

Если в левом сечении элемента действует момент M и перерезывающая сила N , то в правом его сечении соответствующие усилия будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения .

Рис.1.6. Усилия, действующие на элемент балки

Приравняв нулю проекцию на ось OZ всех усилий, действующих на элемент, и момент всех усилий относительно нейтральной оси правого сечения, получим:

Из этих уравнений с точностью до величин высшего порядка малости получим

Из (1.11) и (1.12) следует, что

Зависимости (1.11)–(1.13) известны под названием теоремы Журавского–Шведлера .Из этих зависимостей следует, что перерезывающая сила и изгибающий момент могут быть определены путем интегрирования нагрузки q :

где N 0 и M 0 – перерезывающая сила и изгибающий момент в сечении, соответствующем x = x 0 , которое принимается за начало отсчета; ξ, ξ 1 – переменные интегрирования .

Постоянные N 0 и M 0 для статически определимых балок могут быть определены из условий их статического равновесия.

Если балка статически определимая, изгибающий момент влюбом сечении может быть найден по (1.14), и упругая линия определяется путем двукратного интегрирования дифференциального уравнения (1.7). Однако в конструкциях судового корпуса статически определимые балки встречаются крайне редко. Большинство балок, входящих в состав судовых конструкций, образует многократно статически неопределимые системы. В этих случаях для определения упругой линии уравнение (1.7) является неудобным, и целесообразно перейти к уравнению четвертого порядка.

1.2. Дифференциальное уравнение изгиба балок

Дифференцируя уравнение (1.7) для общего случая, когда момент инерции сечения является функцией от x , с учетом (1.11) и (1.12) получим:

где штрихами обозначено дифференцирование по x .

Для призматических балок, т.е. балок постоянного сечения, получим следующие дифференциальные уравнения изгиба:

Обыкновенное неоднородное линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка (1.18) можно представить в виде совокупности четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

Используем далееу равнение (1.18) или систему уравнений (1.19) для определения прогиба балки (ее упругой линии) и всех неизвестных элементов изгиба: w (x ), θ (x ), M (x ), N (x ).

Интегрируя (1.18) последовательно 4 раза (считая, чтолевому концу балки соответствует сечение x = x a ), получим:

Нетрудно видеть, что постоянные интегрирования N a , M a , θ a , w a имеют определенный физический смысл, а именно:

N a – перерезывающая сила в начале отсчета, т.е. при x = x a ;

M a – изгибающий момент в начале отсчета;

θ a – угол поворота в начале отсчета;

w a – прогиб в этом же сечении.

Для определения указанных постоянных всегда можно составить четыре граничных условия – по два для каждого конца однопролетной балки. Естественно, что граничные условия зависят от устройства концов балки. Простейшие условия соответствуют шарнирному опиранию на жесткие опоры или жесткой заделке.

При шарнирном опирании конца балки на жесткой опоре (рис. 1.7, а ) прогиб балки и изгибающий момент равны нулю:

При жесткой заделке на жесткой опоре (рис. 1.7, б ) равны нулю прогиб и угол поворота сечения:

Если конец балки (консоль) свободен (рис. 1.7, в ), то в этом сечении равны нулю изгибающий момент и перерезывающая сила:

Возможна ситуация, связанная со скользящей заделкой или заделкой по симметрии (рис. 1.7, г ). Это приводит к таким граничным условиям:

Заметим, что граничные условия (1.26), касающиеся прогибов и углов поворота, принято называть кинематическими , а условия (1.27) – силовыми .

Рис. 1.7. Виды граничных условий

В судовых конструкциях часто приходится иметь дело с более сложными граничными условиями, которые соответствуют опиранию балки на упругие опоры или упругой заделке концов.

Упругой опорой (рис. 1.8, а ) называется опора,имеющая просадку, пропорциональную действующей на опору реакции. Будем считать реакцию упругой опоры R положительной, если она действует на опору в сторону положительного направления оси OZ . Тогда можно записать:

w = AR ,(1.29)

где A – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости упругой опоры.

Этот коэффициент равен просадке упругой опоры при действии реакции R = 1, т.е. A = w R = 1 .

Упругими опорами в судовых конструкциях могут быть балки, подкрепляющиерассматриваемую балку, или пиллерсы и другие конструкции, работающие на сжатие.

Для определения коэффициента податливости упругой опоры A необходимо загрузить соответствующую конструкцию единичной силой и найти абсолютную величину просадки (прогиб) в месте приложения силы. Жесткая опора – частный случай упругой опоры при A = 0.

Упругой заделкой (рис. 1.8, б ) называется такая опорная конструкция, которая препятствует свободному повороту сечения и в которой угол поворота θ в этом сечении пропорционален моменту, т.е. имеетместо зависимость

θ =Â M .(1.30)

Множитель пропорциональности Â называется коэффициентом податливости упругой заделки и может быть определен, как угол поворота упругой заделки при M = 1, т.е. Â = θ M = 1 .

Частным случаем упругой заделки при Â = 0 является жесткая заделка. В судовых конструкциях упругими заделками обычно являются балки, нормальные к рассматриваемой и лежащие в этой же плоскости. Например, упруго заделанными на шпангоутах можно считать бимсы и т.п.

Рис. 1.8. Упругая опора (а ) и упругая заделка (б )

Если концы балки длиной L оперты на упругие опоры (рис. 1.9), то реакции опор в концевых сечениях равны перерезывающим силам, и граничные условия можно записать:

Знак минус в первом условии (1.31) принят потому, что положительная перерезывающая сила в левом опорном сечении соответствует реакции, действующей на балку сверху вниз, а на опору – снизу вверх.

Если концы балки длиной L упругозаделанные (рис. 1.9), то для опорных сечений, учитывая правило знаков для углов поворота и изгибающих моментов, можно записать:

Знак минус во втором условии (1.32) принят потому, что при положительном моменте в правом опорном сечении балки момент, действующий на упругую заделку, направлен против часовой стрелки, а положительный угол поворота в этом сечении направлен по часовой стрелке, т.е. направления момента и угла поворота не совпадают.

Рассмотрение дифференциального уравнения (1.18) и всех граничных условий показывает, что они линейны относительно как входящих в них прогибов и их производных, так и действующих на балку нагрузок. Линейность является следствием допущений о справедливости закона Гука и малости прогибов балки.

Рис. 1.9. Балка, оба конца которой упруго оперты и упруго заделаны (а );

усилия в упругих опорах и упругих заделках, соответствующие положительным
направлениям изгибающего момента и перерезывающей силы (б )

При действии на балку нескольких нагрузок каждый элемент изгиба балки (прогиб, угол поворота, момент и перерезывающая сила) представляет собой сумму элементов изгиба от действия каждой из нагрузок в отдельности. Это очень важное положение, называемое принципом наложения, или принципом суммирования действия нагрузок, широко используется в практических расчетах и, в частности, для раскрытия статической неопределимости балок.

1.3. Метод начальных параметров

Общий интеграл дифференциального уравнения изгиба балки может быть использован для определения упругой линии однопролетной балки в том случае, когда нагрузка балки представляет собой непрерывную функцию координаты на протяжении всего пролета. Если в составе нагрузки встречаются сосредоточенные силы, моменты или распределенная нагрузка действует на части длины балки (рис. 1.10), то непосредственно использовать выражение (1.24) нельзя. В этом случае можно было бы, обозначив упругие линии на участках 1, 2 и 3 через w 1 , w 2 , w 3 , выписать для каждойиз них интеграл в виде (1.24) и найти все произвольные постоянные из граничных условий на концах балки и условий сопряжения на границах участков. Условия сопряжения в рассматриваемом случае выражаются так:

при x=a 1

при x=a 2

при x=a 3

Нетрудно заметить, что такой путь решения задачи приводит к большому числу произвольных постоянных, равному 4n , где n – число участков по длине балки.

Рис. 1.10. Балка, на отдельных участках которой приложены нагрузки разных типов

Значительно удобнее представить упругую линию балки в виде

где члены за двойной чертой учитываются при x ³ a 1, x ³ a 2 и т.д.

Очевидно, что δ 1 w (x )=w 2 (x )−w 1 (x ); δ 2 w (x )=w 3 (x )−w 2 (x ); и т.д.

Дифференциальные уравнения для определения поправок к упругой линии δ i w (x ) на основании (1.18) и (1.32) можно записать в виде

Общий интеграл для любой поправки δ i w (x ) к упругой линии может быть записан в виде (1.24) при x a = a i . При этом параметры N a , M a , θ a , w a имеют смысл изменения (скачка) соответственно: в перерезывающей силе, изгибающем моменте, угле поворота и стрелке прогиба при переходе через сечение x = a i . Такой прием называется методом начальных параметров. Можно показать, чтодля балки, приведенной на рис. 1.10, уравнение упругой линии будет

Таким образом, метод начальных параметров дает возможность и при наличии разрывности в нагрузках записать уравнение упругой линии в виде, содержащем лишь четыре произвольных постоянных N 0 , M 0 , θ 0 , w 0 , которые определяются из граничных условий по концам балки.

Заметим, что для большого числа вариантов встречающихся на практике однопролетных балок составлены подробные таблицы изгиба, которые позволяют легко найти прогибы, углы поворота и другие элементы изгиба.

1.4. Определение касательных напряжений при изгибе балок

Принятая в теории изгиба балок гипотеза плоских сечений приводит к тому, что деформация сдвига в сечении балки оказывается равной нулю, и мы неимеем возможности, используя закон Гука, определить касательные напряжения. Однако поскольку в общем случае в сечениях балки действуют перерезывающие силы, то должны возникать соответствующие им касательные напряжения. Это противоречие (которое является следствием принятой гипотезы плоских сечений) можно обойти, рассматривая условия равновесия. Будем считать, что при изгибе балки, составленной из тонких полос, касательные напряжения в поперечном сечении каждой из этих полос равномерно распределены по толщине и направлены параллельно длинным сторонам ее контура. Это положение практически подтверждается точными решениями теории упругости. Рассмотрим балку открытого тонкостенного двутаврового профиля. На рис. 1.11 показано положительное направление касательных напряжений в поясках и стенке профиля при изгибе в плоскости стенки балки. Выделим продольным сечением I - I и двумя поперечными сечениями элемент длиной dx (рис. 1.12).

Обозначим касательное напряжение в указанном продольном сечении через τ, а нормальные усилия в начальном поперечном сечении через T . Нормальные усилия в конечном сечении будут иметь приращения. Рассмотрим только линейные приращения, тогда .

Рис. 1.12. Продольные усилия и касательные напряжения
в элементе пояска балки

Условие статического равновесия выделенногоиз балки элемента (равенство нулю проекций усилий на ось OX ) будет

где ; f – площадь части профиля, отсеченного линией I – I ; δ– толщина профиля в месте сечения.

Из (1.36) следует:

Поскольку нормальные напряжения σ x определяются формулой (1.8), то

При этом мы полагаем, что балка имеет постоянное по длине сечение. Статический момент части профиля (отсеченной линией I – I ) относительно нейтральной оси сечения балки OY является интегралом

Тогда из (1.37) для абсолютной величины напряжений получим:

Естественно, что полученная формула для определения касательных напряжений справедлива и для любого продольного сечения, например II – II (см. рис. 1.11), и статический момент S отс вычисляется для отсеченной части площади профиля балки относительно нейтральной оси без учета знака.

Формула (1.38) по смыслу проведенного вывода определяет касательные напряжения в продольных сечениях балки. Из теоремы о парности касательных напряжений, известной из курса сопротивления материалов, следует, что такие же касательные напряжения действуют в соответствующих точках поперечного сечения балки. Естественно, что проекция главного вектора касательных напряжений на ось OZ должна быть равна перерезывающей силе N в данном сечении балки. Поскольку в поясках балки такого типа, как показано на рис. 1.11, касательные напряжения направлены по оси OY , т.е. нормально к плоскости действия нагрузки, и являются в целом уравновешенными, перерезывающая сила должна уравновешиваться касательными напряжениями в стенке балки. Распределение касательных напряжений по высоте стенки следует закону изменения статического момента S отс отсеченной части площади относительно нейтральной оси (при постоянной толщине стенки δ ).

Рассмотрим симметричное сечение двутавровой балки с площадью пояска F 1 и площадью стенки ω = hδ (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Сечение двутавровой балки

Статический момент отсеченной части площади для точки, отстоящей на z от нейтральной оси, будет

Как видно из зависимости (1.39), статическиймомент изменяется с z по закону квадратичной параболы. Наибольшее значение S отс , а следовательно, и касательных напряжений τ, получится у нейтральной оси, где z = 0:

Наибольшее касательное напряжениев стенке балки у нейтральной оси

Поскольку момент инерции сечения рассматриваемой балки равен

то наибольшее касательное напряжение будет

Отношение N /ω есть не что иное, как среднее касательное напряжение в стенке, вычисленное в предположенииравномерного распределения напряжений. Принимая, например, ω = 2F 1 , по формуле (1.41) получим

Таким образом, у рассматриваемой балки наибольшее касательное напряжение в стенке у нейтральной оси лишь на 12,5% превышает среднее значение этих напряжений. Следует отметить, что у большинства профилей балок, применяемых в судовом корпусе, превышение максимальных касательных напряжений над средними составляет 10–15%.

Если рассмотреть распределение касательных напряжений при изгибе в сечении балки, показанной на рис. 1.14, то можно видеть, что они образуют момент относительно центра тяжести сечения. В общем случае изгиб такой балки в плоскости XOZ будет сопровождаться закручиванием.

Изгиб балки не сопровождается закручиванием, если нагрузка будет действовать в плоскости, параллельной XOZ , проходящей через точку, называемую центром изгиба. Эта точка характеризуетсятем, что момент всех касательных усилий в сечении балки относительно нее равен нулю.

Рис. 1.14. Касательные напряжения при изгибе швеллерной балки (точка А – центр изгиба)

Обозначив отстояние центра изгиба А от оси стенки балки через е , запишем условие равенства нулю моментакасательных усилий относительно точки А :

где Q 2 – касательное усилие в стенке, равное перерезывающей силе, т.е. Q 2 =N ;

Q 1 =Q 3 – усилие в пояске, определяемое на основании (1.38) зависимостью

Деформация сдвига (или угол сдвига) γ изменяется по высоте стенки балки так же, как и касательные напряжения τ, достигая наибольшей величины у нейтральной оси.

Как было показано, у балок с поясками изменение касательных напряжений по высоте стенки весьма незначительно. Это позволяет в дальнейшем рассматривать некоторый средний угол сдвига в стенке балки

Деформация сдвига приводит к тому, что прямой угол между плоскостью поперечного сечения балки и касательной к упругой линии изменяется на величину γ ср . Упрощенная схема деформации сдвига элемента балки показана на рис. 1.15.

Рис. 1.15. Схема деформации сдвига элемента балки

Обозначив стрелку прогиба, вызванную сдвигом через w сдв , можно записать:

С учетом правила знаков для перерезывающей силы N и угла поворота найдем

Поскольку ,

Интегрируя (1.47), получим

Постоянная a , входящая в (1.48), определяет перемещение балки как твердого тела и может быть принята равной любой величине, так как при определении суммарной стрелки прогиба от изгиба w изг и сдвига w сдв

появится сумма постоянных интегрирования w 0 +a , определяемая из граничных условий. Здесь w 0 – прогиб от изгиба в начале координат.

Положим в дальнейшем a =0. Тогда окончательно выражение для упругой линии, вызванной сдвигом, примет вид

Изгибная и сдвиговая составляющие упругой линии показаны на рис. 1.16.

Рис. 1.16. Изгибная (а ) и сдвиговая (б ) составляющие упругой линии балки

В рассмотренном случае угол поворота сечений при сдвиге равен нулю, поэтому и с учетом сдвига углы поворота сечений, изгибающие моменты и перерезывающие силы связаны только с производными упругой линии от изгиба:

Несколько иначе обстоит дело в случае действия на балку сосредоточенных моментов, которые, как будет показано ниже, не вызывают прогибов от сдвига, а приводят лишь к дополнительному повороту сечений балки.

Рассмотрим свободно опертую на жесткие опоры балку, в левом сечении которой действует момент М . Перерезывающая сила в этом случае будет постоянной и равной

Для правого опорного сечения соответственно получим

.(1.52)

Выражения (1.51)и (1.52) можно переписать в виде

Выражения в круглых скобках характеризуют относительную добавку к углу поворота сечения, вызванную сдвигом.

Если рассмотреть, например, свободно опертую балку, загруженную посередине ее пролета силой Р (рис. 1.18), то прогиб балки под силой будет равен

Прогиб от изгиба можно найти по таблицам изгиба балок. Прогиб от сдвига определяется по формуле (1.50) с учетом того, что .

Рис. 1.18. Схема свободно опертой балки, загруженной сосредоточенной силой

Как видно из формулы (1.55), относительная добавка к прогибу балки за счет сдвига имеет такую же структуру, что и относительная добавка к углу поворота, но с другим численным коэффициентом.

Введем обозначение

где β – численный коэффициент, зависящий от рассматриваемой конкретной задачи, устройства опор и нагрузки балки.

Проанализируем зависимость коэффициента k от различных факторов.

Если учесть, что , получим вместо (1.56)

Момент инерции сечения балки всегда может быть представлен в виде

,(1.58)

где α – численный коэффициент, зависящий от формы и характеристик поперечного сечения. Так, для балки двутаврового профиля по формуле (1.40) при ω =2F 1 найдем I = ωh 2 /3, т.е. α =1/3.

Заметим, что с ростом размеров поясков балки коэффициент α будет увеличиваться.

С учетом (1.58) вместо (1.57) можно записать:

Таким образом, значение коэффициента k существенно зависит от отношения длины пролета балки к ее высоте, от формы сечения (через коэффициент α ), устройства опор и нагрузки балки (через коэффициент β ). Чем относительно длиннее балка (h / L мало), тем меньше влияние деформации сдвига. Для балок прокатного профиля, имеющих отношение h / L меньше 1/10÷1/8, поправка на сдвиг практически может не учитываться.

Однако для балок с широкими поясками, таких, например, как киль, стрингеры и флоры в составе днищевых перекрытий влияние сдвига и при указанных h / L может оказаться значительным.

Следует отметить, что деформации сдвига оказывают влияние не только на увеличение прогибов балок, но в некоторых случаях и на результаты раскрытия статической неопределимости балок и балочных систем.

Гипотезы при изгибе. Нейтральный слой, радиус кривизны, кривизна, распределение деформаций и нормальных напряжении по высоте поперечного сечения стержня. Касательные напряжения при плоском поперечном изгибе стержней. Расчет балок на прочность при изгибе. Перемещения при изгибе.

Нормальные напряжения при чистом прямом изгибе. Так как нормальные напряжения зависят только от изгибающих моментов, то вывод формулы для вычисления можно производить применительно к чистому изгибу. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли) - сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Рис. 28. Гипотеза Бернулли

Статическая задача о плоском изгибе . Изгибающий момент в сечении представляет собой сумму моментов всех элементарных внутренних нормальных сил σ.dA, возникающих на элементарных площадках поперечного сечения балки (рис. 29), относительно нейтральной оси: .

Данное выражение представляет собой статическую сторону задачи о плоском изгибе. Но его нельзя использовать для определения нормальных напряжений, так как неизвестен закон распределения напряжений по сечению.

Рис. 29. Статическая сторона задачи

Геометрическая сторона задачи о плоском изгибе . Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной dz. Под нагрузкой нейтральная ось искривляется (радиус кривизны ρ), а сечения поворачиваются относительно своих нейтральных линий на угол dθ. Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом остается неизменной (рис. 30, б):

Рис. 30. Геометрическая сторона задачи:
а - элемент балки; б - искривление нейтральной оси; в - эпюра σ.dA; г - эпюра ε

Определим длину отрезка волокон, отстоящего от нейтрального слоя на расстоянии y

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Относительное удлинение в этом случае будет

Зависимость отражает геометрическую сторону задачи о плоском изгибе, из которой видно, что деформации продольных волокон изменяются по высоте сечения по линейному закону.

Совокупность волокон, не меняющих своей длины при изгибе балки, называется нейтральным слоем.

Линия, по которой поперечное сечение балки пересекается с нейтральным слоем балки, называется нейтральной линией сечения.

Физическая сторона задачи о плоском изгибе. Используя закон Гука при осевом растяжении, получаем

Подставив в выражение, отражающее статическую сторону задачи о плоском изгибе, значение σ, получаем

Подставив значение в исходную формулу, получаем

(13)

Данное выражение отражает физическую сторону задачи о плоском изгибе, которое дает возможность рассчитать нормальные напряжения по высоте сечения.

Хотя это выражение получено для случая чистого изгиба, но как показывают теоретические и экспериментальные исследования, оно может быть использовано и для плоского поперечного изгиба.

Нейтральная линия. Положение нейтральной линии определим из условия равенства нулю нормальной силы в сечениях балки при чистом изгибе

Так как M x ≠ 0 и I x ≠ 0, то необходимо, чтобы нулю был равен интеграл . Данный интеграл представляет собой статический момент сечения относительно нейтральной оси. Так как статический момент сечения равен нулю только относительно центральной оси, следовательно, нейтральная линия при плоском изгибе совпадает с главной центральной осью инерции сечения.

Касательные напряжения . Касательные напряжения, которые возникают в сечениях балки при плоском поперечном изгибе, определяются по зависимости:

(14)

где Q - поперечная сила в рассматриваемом сечении балки; S xo - статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной оси балки; b - ширина сечения в рассматриваемом слое; Ix -момент инерции сечения относительно нейтральной оси.

Касательные напряжения равны нулю в крайних волокнах сечения и максимальны в волокнах нейтрального слоя.

Расчет балок на прочность при изгибе. Прочность балки будет обеспечена, если будут выполняться условия:

(15)

Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в сечениях, где действует максимальный изгибающий момент, в точках сечения наиболее удаленных от нейтральной оси

Максимальные касательные напряжения возникают в сечениях балки, где действует максимальная поперечная сила

Касательные напряжения τmax обычно малы по сравнению с σmax и в расчетах, как правило, не учитываются. Проверка по касательным напряжениям производится только для коротких балок.

Перемещения при изгибе . Под расчетом на жесткость понимают оценку упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Условие жесткости при изгибе

Перемещение центра тяжести сечения по направлению перпендикулярному к оси балки, называется прогибом. Прогиб обозначается буквой W.

Наибольший прогиб в пролете или на консоли балки, называется стрелой прогиба и обозначается буквой ƒ.

Угол q , на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению и есть угол поворота.

Угол поворота считается положительным, при повороте сечения против хода часовой стрелки

Угол поворота сечения равен значению производной от прогиба по координате Z в этом же сечении, то есть:

Уравнение упругой линии балки

(16)

Существуют три метода решения дифференциального уравнения упругой линии балки. Это метод непосредственного интегрирования, метод Клебша и метод начальных параметров.

Метод непосредственного интегрирования . Проинтегрировав уравнение упругой линии балки первый раз, получают выражение для определения углов поворота:

Интегрируя второй раз, находят выражения для определения прогибов:

Значения постоянных интегрирования С и D определяют из начальных условий на опорах балки

Метод Клебша . Для составления уравнений необходимовыполнить следующие основные условия:

начало координат, для всех участков, необходимо расположить в крайнем левом конце балки;
интегрирование дифференциального уравнения упругой линии балки проводить, не раскрывая скобок;
при включении в уравнение внешнего сосредоточенного момента М его необходимо помножить на (Z - a), где а - координата сечения, в котором приложен момент;
в случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца балки, а для восстановления действительных условий нагружения вводят «компенсирующую» нагрузку обратного направления

Метод начальных параметров

Для углов поворота

(17)

Для прогибов:

(18)

где θ - угол поворота сечения; w - прогиб; θo - угол поворота в начале координат; w0 - прогиб в начале координат; dі - расстояние от начало координат до i-й опоры балки; ai - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенного момента Mi; bi - расстояние от начало координат до точки приложения сосредоточенной силы Fi; сi - расстояние от начало координат до начала участка распределенной нагрузки qi; Ri и Мрi - реакция и реактивный момент в опорах балки.

Определение стрелы прогибов для простых случаев

Рис. 31. Примеры нагрузок балок

Вычисление перемещений методом Мора

Если не требуется знание уравнения изогнутой линии бруса, а необходимо определить только линейные или угловые перемещения отдельного сечения, удобнее всего воспользоваться методом Мора.Для балок и плоских рам интеграл Мора имеет вид:

где δ - искомое перемещение (линейное или угловое); М p , М i - аналитические выражения изгибающих моментов соответственно от заданной и единичной cилы; EJ x - жесткость сечения балки в плоскости изгиба. При определении перемещений нужно рассматривать два состояния системы: 1 - действительное состояние, с приложенной внешней нагрузкой; 2 - вспомогательное состояние, в котором балка освобождается от внешней нагрузки, а к сечению, перемещение которого определяется, прикладывается единичная сила, если определяется линейное перемещение, или единичный момент, если определяется угловое перемещение (рис. 32).

Рис. 32. Определение перемещений:
а - действительное состояние; б, в - вспомогательные состояния

Формулу Мора можно получить, например. используя принцип возможных перемещений.

Рис. 33. Схема рамы:
а - под воздействием силы; б - внутренние усилия

Рассмотрим схему (рис. 33а), когда в точке А в направлении искомого перемещения ΔA приложена единичная сила , вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы (рис. 33, б). В соответствии с принципом возможных перемещений работа этих внутренних силовых факторов на любых возможных перемещениях должна равняться работе единичной силы на возможном перемещении δΔA:

Выбираем возможные перемещения пропорциональными действительным:

И после подстановки получим:

При учете, что

приходим к формуле Мора

(19)

которая служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.

В случае, когда брус работает только на изгиб (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), выражение (1) принимает вид:

(20)

Правило Верещагина позволяет заменить непосредственное интегрирование в формулах Мора так называемым перемножением эпюр. Способ вычисления интеграла Мора путем замены непосредственного интегрирования перемножением соответствующих эпюр называется способом (или правилом) Верещагина, заключающемся в следующем: чтобы перемножить две эпюры, из которых хотя бы одна является прямолинейной, нужно площадь одной эпюры умножить на ординату другой эпюры, расположенную под центром тяжести первой (ординаты используются только с прямолинейных эпюр). Эпюры сложного очертания могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, квадратичную параболу и т.п. (рис. 34).

Рис. 34. Простейшие эпюры

Справедливость правила Верещагина .

Рис. 35. Схема перемножения эпюр:
а - произвольная эпюра; б - прямолинейная

Приведены две эпюры изгибающих моментов, из которых одна Мk имеет произвольное очертание, а другая Мi прямолинейна (рис. 35). Сечение стержня считаем постоянным. В этом случае

Величина Mkdz представляет собой элементарную площадь dω эпюры Мk (заштрихована). Получаем

Но Mi = ztg α, поэтому,

Выражение представляет собой статический момент площади эпюры Мk относительно оси у, проходящей через точку О, равный ωkΖc, где ωk - площадь эпюры моментов; Ζс - расстояние от оси у до центра тяжести эпюры М k . Из рисунка очевидно:

Ζ c = М i /tg α,

где Мi - ордината эпюры Mi, расположенная под центром тяжести эпюры Мk (под точкой С).

(21)

Формула (21) представляет правило вычисления интеграла Мора: интеграл равен произведению площади криволинейной эпюры на ординату, взятую с прямолинейной эпюры и расположенную под центром тяжести криволинейной эпюры.

Встречающиеся на практике криволинейные эпюры могут быть разбиты на ряд простейших: прямоугольник, треугольник, симметричную квадратичную параболу и т.п.

При помощи разбивания эпюр на части можно добиться того, что при перемножении все эпюры были бы простой структуры.

Пример вычисления перемещений . Требуется определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 36, а), способом Мора-Верещагина.

Рассмотрим 3 состояния балки: грузовое состояние (при действии распределенной нагрузки q;) ему соответствует эпюра Mq (рис. 36, б), и два единичных: при действии силы , приложенной в точке С (эпюра , рис. 36, в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис. 36, г).

Прогиб балки в середине пролета:

Обратим внимание, что перемножение эпюр выполняется для половины балки, а затем из-за симметрии) полученный результат удваивается. При вычислении угла поворота сечения в точке В площадь эпюры Mq умножается на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (1/2, рис. 9, г), т.к. эпюра изменяется по прямой линии: